常用等價無窮小公式=1-cosx。等價無窮小是無窮小之間的一種關系,指的是在同一自變量的趨向過程中,若兩個無窮小之比的極限為1,則稱這兩個無窮小是等價的。
(1)sinx~x
(2)tanx~x
(3)arcsinx~x
(4)arctanx~x
(5)1-cosx~(1/2)*(x^2)~secx-1
(6)(a^x)-1~x*lna ((a^x-1)/x~lna)
(7)(e^x)-1~x
(8)ln(1+x)~x
(9)(1+Bx)^a-1~aBx
(10)[(1+x)^1/n]-1~(1/n)*x
(11)loga(1+x)~x/lna
(12)(1+x)^a-1~ax(a≠0)
常見的等價無窮小有:sinx~x;tanx~x;arctanx~x;ln(1+x)~x;arcsinx~x;e?-1~x;a?-1~xlna(a>0,a≠1)。
采用泰勒展開的高階等價無窮小:
sinx=x-(1/6)x^3+o(x^3)
cosx=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!+o(x^4)
tanx=x+(1/3)x^3+o(x^3)
arcsinx=x+(1/6)x^3+o(x^3)
arctanx=x-(1/3)x^3+o(x^3)
In(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3+o(x^3)
e^x=1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3+o(x^3)
(1+x)^a=1+ax+a(a-1)(x^2)/2+o(x^2)
求極限時
使用等價無窮小的條件:
被代換的量,在取極限的時候極限值為0;
被代換的量,作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換,但是作為加減的元素時就不可以。
無窮小就是以數零為極限的變量。
確切地說,當自變量x無限接近某個值x0(x0可以是0、∞、或是別的什么數)時,函數值f(x)與零無限接近,即f(x)=0(或f(x0)=0),則稱f(x)為當x→x0時的無窮小量。
例如,f(x)=(x-1)2是當x→1時的無窮小量,f(n)=1/n是當n→∞時的無窮小量,f(x)=sinx是當x→0時的無窮小量。特別要指出的是,切不可把很小的數與無窮小量混為一談。
這里值得一提的是,無窮小是可以比較的:
假設a、b都是lim(x→x0)時的無窮小,
如果lim b/a=0,就說b是比a高階的無窮小,記作b=o(a)
如果lim b/a=∞,就是說b是比a低階的無窮小。
比如b=1/x^2, a=1/x。x-\u003e無窮時,通俗的說,b時刻都比a更快地趨于0,所以稱做是b高階。假如有c=1/x^10,那么c比a b都要高階,因為c更快地趨于0了。
如果lim b/a^n=常數C≠0(k\u003e0),就說b是關于a的n階的無窮小, b和a^n是同階無窮小。
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