【三角函數(shù)兩角和差公式】推導(dǎo)過程及證明

證明方法并不唯一，在這里提供一種我認(rèn)為比較容易理解的方法。如下圖所示，從 A 出發(fā)作 ∠α 和 ∠β，在 ∠β 的一條射線上取一點(diǎn) D ，過 D 作 ∠β 的另一條射線的垂線，設(shè)垂足為 E。然后過 E 作 ∠α 的另一條射線的垂線，設(shè)垂足為 B。再延長 EB，作 CD ⊥ CE。

三角函數(shù)兩角和差公式是什么

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

三角函數(shù)兩角和差公式推導(dǎo)過程

證明方法并不唯一，在這里提供一種我認(rèn)為比較容易理解的方法。如下圖所示，從 A 出發(fā)作 ∠α 和 ∠β，在 ∠β 的一條射線上取一點(diǎn) D ，過 D 作 ∠β 的另一條射線的垂線，設(shè)垂足為 E。然后過 E 作 ∠α 的另一條射線的垂線，設(shè)垂足為 B。再延長 EB，作 CD ⊥ CE。

如果假設(shè) AD = 1，那么在 △AED 中，AE = cosβ，DE = sinβ。先來證明第 1 個(gè)公式：在 △CDE 中，CE = sinβ cosα;在 △ABE 中，BE = cosβ sinα;在 △ADF 中，DF = sin ( α+β )。因?yàn)?DF = BC = BE + CE，所以 sin ( α+β ) = cosβ sinα + sinβ cosα。