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        完全平方數(shù)是什么

        2023-02-21 13:13:17文/周傳杰

        完全平方指用一個整數(shù)乘以自己例如1*1,2*2,3*3等,依此類推。若一個數(shù)能表示成某個整數(shù)的平方的形式,則稱這個數(shù)為完全平方數(shù)。完全平方數(shù)是非負(fù)數(shù),而一個完全平方數(shù)的項有兩個。注意不要與完全平方式所混淆。

        完全平方數(shù)是什么

        完全平方數(shù)是什么

        (1)個位數(shù)是2、3、7、8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

        (2)個位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

        (3)個位數(shù)是6,十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

        (4)形如3n+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

        (5)形如4n+2和4n+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

        (6)形如5n±2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

        (7)形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

        (8)數(shù)字和是2、3、5、6、8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù);

        (9)四平方和定理:每個正整數(shù)均可表示為4個整數(shù)的平方和;

        (10)完全平方數(shù)的因數(shù)個數(shù)一定是奇數(shù)。

        完全平方數(shù)討論題事例

        (1986年第27屆IMO試題) 設(shè)正整數(shù)d不等于2,5,13,求證在集合{2,5,13,d}中可以找到兩個不同的元素a,b,使得ab -1不是完全平方數(shù)。解:顯然2*5-1=9 2*13-1=25 5*13-1=64都為完全平方數(shù)假設(shè)2d-1為完全平方數(shù),注意到d為正整數(shù),2d-1為奇數(shù) 不妨設(shè)2d-1=(2n-1)^2 得 d=2n^2-2n+1此時5d-1=10n^2-10n+4不是完全平方數(shù)同理 假設(shè)5d-1 13d-1 為完全平方數(shù) 可以分d為奇偶去證明.

        求k的最大值,使2010可以表示為k個連續(xù)正整數(shù)之和。解:假設(shè)這k個數(shù)為 a,a+1,a+2,...,a+(k-1)它們的和為 ka+k(k-1)/2=2010k(k+2a-1)=2*2010=2^2*5*3*67=60*67顯然k最大只能是60,此時a=4

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