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        二倍角公式大全及推導過程

        2024-01-04 10:10:03文/崔馨月

        二倍角公式是通過角α的三角函數值的一些變換關系來表示其二倍角2α的三角函數值,接下來分享二倍角公式大全及推導過程。Sin2a=2Sina*Cosa;Cos2a=Cosa^2-Sina^2=1-2Sina^2=2Cosa^2-1;tan2a=(2tana)/(1-tana^2)。

        二倍角公式大全及推導過程

        二倍角公式大全及推導過程

        三角函數的二倍角公式

        Sin2a=2Sina*Cosa

        Cos2a=Cosa^2-Sina^2=1-2Sina^2=2Cosa^2-1

        tan2a=(2tana)/(1-tana^2)

        二倍角公式推導過程

        ①正弦二倍角公式:

        sin2α=2cosαsinα

        推導:sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa

        拓展公式:sin2a=2sinacosa=2tanacosa^2=2tana/[1+tana^2] 1+sin2a=(sina+cosa)^2

        ②余弦二倍角公式:

        余弦二倍角公式有三組表示形式,三組形式等價:

        1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2]

        2.Cos2a=1-2Sina^2

        3.Cos2a=2Cosa^2-1

        推導:cos2a=cos(a+a)=cosacosa-sinasina=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2。

        ③正切二倍角公式:

        tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]

        推導:tan2a=tan(a+a)=(tana+tana)/(1-tanatana)=2tana/[1-(tana)^2]。

        三角函數的半角公式

        sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)

        cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)

        tan(α/2)=±√((1-cosα)/((1+cosα))

        二倍角公式推導過程

        在二角和的公式中令兩個角相等(B=A),就得到二倍角公式。

        sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB〉sin2A=2sinAcosA。

        cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB〉cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=(1-(sinA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1。

        tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)〉tan2A=2tanA/【1-(tanA)^2】。

        在余弦的二倍角公式中,解方程就得到半角公式。

        cosx=1-2【sin(x/2)】^2〉sin(x/2)=+'-√【(1-cosx)/2】符號由(x/2)的象限決定,下同。

        cosx=2【cos(x/2)】^2〉cos(x/2)=+'-√【1+cosx)/2】

        兩式的兩邊分別相除,得到:

        tan(x/2)=+'-√【(1-cosx)/(1+cosx)】。

        又tan(x/2)=sin(x/2)/cos(x/2)=2【sin(x/2)】^2/【2sin(x/2)cos(x/2)】=(1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx)。

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