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        基本事實(shí)和公理的區(qū)別

        2020-10-10 14:07:16文/陳宇航

        “公理”是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的基本數(shù)學(xué)知識(shí)并作為判定其它命題真假的根據(jù),經(jīng)過(guò)人類(lèi)長(zhǎng)期反復(fù)的實(shí)踐檢驗(yàn)是真實(shí)的,大家普遍公認(rèn)的、不需要由其他判斷加以證明、且也不能由其他判斷證明的命題和原理。一些學(xué)科就是建立在這樣一些公理的基礎(chǔ)上;“基本事實(shí)”是說(shuō)人證物證都在,邏輯上能說(shuō)明它是正確的。

        基本事實(shí)和公理的區(qū)別

        公理的歷史發(fā)展

        經(jīng)由可靠的論證(三段論、推理規(guī)則)由前提(原有的知識(shí))導(dǎo)至結(jié)論(新的知識(shí))的邏輯演繹方法,是由古希臘人發(fā)展出來(lái)的,并已成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的核心原則。除了重言式之外,沒(méi)有任何事物可被推導(dǎo),若沒(méi)有任何事物被假定的話。公理即是導(dǎo)出特定一套演繹知識(shí)的基本假設(shè)。

        公理不證自明,而所有其他的斷言(若談?wù)摰氖菙?shù)學(xué),則為定理)則都必須借助這些基本假設(shè)才能被證明。然而,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的解釋從古至今已不太一樣,且最終“公理”這一詞對(duì)今日的數(shù)學(xué)家眼中和在亞里斯多德和歐幾里得眼中的意思也有了些許的不同。

        古希臘人認(rèn)為幾何學(xué)也是數(shù)種科學(xué)的其中之一,且視幾何學(xué)的定理和科學(xué)事實(shí)有同等地位。他們發(fā)展并使用邏輯演繹方法來(lái)作為避免錯(cuò)誤的方法,并以此來(lái)建構(gòu)及傳遞知識(shí)。亞里斯多德的后分析篇是對(duì)此傳統(tǒng)觀點(diǎn)的一決定性的闡述。

        “公理”,以傳統(tǒng)的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō),是指在許多科學(xué)分支中所共有的一個(gè)不證自明的假設(shè)。

        在各種科學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)中,或許會(huì)有某些未經(jīng)證明而被接受的附加假定,此類(lèi)假定稱(chēng)為“公設(shè)”。公理是許多科學(xué)分支所共有的,而各個(gè)科學(xué)分支中的公設(shè)則是不同的。公設(shè)的有效性必須建立在現(xiàn)實(shí)世界的經(jīng)驗(yàn)上。確實(shí),亞里斯多德曾言,若讀者懷疑公設(shè)的真實(shí)性,這門(mén)科學(xué)之內(nèi)容便無(wú)法成功傳遞。

        傳統(tǒng)的做法在《幾何原本》中很好地描繪了出來(lái),其中給定一些公設(shè)(從人們的經(jīng)驗(yàn)中總結(jié)出的幾何常識(shí)事實(shí)),以及一些“公理”(極基本、不證自明的斷言)。

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