2017年遵義中考數學試題word版（含答案）

各位同學在查看時請點擊全屏查看

2017年遵義中考數學試題

一、數學試題選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）

1．﹣3的相反數是（　　）

A．﹣3????????????? B．3????????????? C．????????????? D．

2．2017年遵義市固定資產總投資計劃為2580億元，將2580億元用科學記數法表示為（　　）

A．2.58×1011????????????? B．2.58×1012????????????? C．2.58×1013????????????? D．2.58×1014

3．把一張長方形紙片按如圖①，圖②的方式從右向左連續對折兩次后得到圖③，再在圖③中挖去一個如圖所示的三角形小孔，則重新展開后得到的圖形是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

4．下列運算正確的是（　　）

A．2a5﹣3a5=a5????????????? B．a2?a3=a6????????????? C．a7÷a5=a2????????????? D．（a2b）3=a5b3

5．我市連續7天的最高氣溫為：28°，27°，30°，33°，30°，30°，32°，這組數據的平均數和眾數分別是（　　）

A．28°，30°????????????? B．30°，28°????????????? C．31°，30°????????????? D．30°，30°

6．把一塊等腰直角三角尺和直尺如圖放置，如果∠1=30°，則∠2的度數為（　　）

A．45°????????????? B．30°????????????? C．20°????????????? D．15°

7．不等式6﹣4x≥3x﹣8的非負整數解為（　　）

A．2個????????????? B．3個????????????? C．4個????????????? D．5個

8．已知圓錐的底面積為9πcm2，母線長為6cm，則圓錐的側面積是（　　）

A．18πcm2????????????? B．27πcm2????????????? C．18cm2????????????? D．27cm2

9．關于x的一元二次方程x2+3x+m=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍為（　　）

A．m≤????????????? B．m????????????? C．m≤????????????? D．m

10．如圖，△ABC的面積是12，點D，E，F，G分別是BC，AD，BE，CE的中點，則△AFG的面積是（　　）

A．4.5????????????? B．5????????????? C．5.5????????????? D．6

11．如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點（﹣1，0），對稱軸l如圖所示，則下列結論：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正確的結論是（　　）

A．①③????????????? B．②③????????????? C．②④????????????? D．②③④

12．如圖，△ABC中，E是BC中點，AD是∠BAC的平分線，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，則FC的長為（　　）

A．11????????????? B．12????????????? C．13????????????? D．14

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

13．計算： =　?? 　．

14．一個正多邊形的一個外角為30°，則它的內角和為　?? 　．

15．按一定規律排列的一列數依次為：，1，，，，，…，按此規律，這列數中的第100個數是　?? 　．

16．明代數學家程大位的《算法統宗》中有這樣一個問題（如圖），其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八兩，請問：所分的銀子共有　?? 　兩．（注：明代時1斤=16兩，故有“半斤八兩”這個成語）

17．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，點M是OA的中點，過點M的直線與⊙O交于C，D兩點．若∠CMA=45°，則弦CD的長為　?? 　．

18．如圖，點E，F在函數y=的圖象上，直線EF分別與x軸、y軸交于點A、B，且BE：BF=1：3，則△EOF的面積是　?? 　．

三、解答題（本大題共9小題，共90分）

19．計算：|﹣2|+（4﹣π）0﹣+（﹣1）﹣2017．

20．化簡分式：（﹣）÷，并從1，2，3，4這四個數中取一個合適的數作為x的值代入求值．

21．學校召集留守兒童過端午節，桌上擺有甲、乙兩盤粽子，每盤中盛有白粽2個，豆沙粽1個，肉粽1個（粽子外觀完全一樣）．

（1）小明從甲盤中任取一個粽子，取到豆沙粽的概率是　?? 　；

（2）小明在甲盤和乙盤中先后各取了一個粽子，請用樹狀圖或列表法求小明恰好取到兩個白粽子的概率．

22．烏江快鐵大橋是快鐵渝黔線的一項重要工程，由主橋AB和引橋BC兩部分組成（如圖所示），建造前工程師用以下方式做了測量；無人機在A處正上方97m處的P點，測得B處的俯角為30°（當時C處被小山體阻擋無法觀測），無人機飛行到B處正上方的D處時能看到C處，此時測得C處俯角為80°36′．

（1）求主橋AB的長度；[來源:學科網]

（2）若兩觀察點P、D的連線與水平方向的夾角為30°，求引橋BC的長．

（長度均精確到1m，參考數據：≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06）

23．貴州省是我國首個大數據綜合試驗區，大數據在推動經濟發展、改善公共服務等方面日益顯示出巨大的價值，為創建大數據應用示范城市，我市某機構針對市民最關心的四類生活信息進行了民意調查（被調查者每人限選一項），下面是部分四類生活信息關注度統計圖表，請根據圖中提供的信息解答下列問題：

（1）本次參與調查的人數有　?? 　人；

（2）關注城市醫療信息的有　?? 　人，并補全條形統計圖；

（3）扇形統計圖中，D部分的圓心角是　?? 　度；

（4）說一條你從統計圖中獲取的信息．

24．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠APB=60°，連接PO并延長與⊙O交于C點，連接AC，BC．

（1）求證：四邊形ACBP是菱形；

（2）若⊙O半徑為1，求菱形ACBP的面積．

25．為厲行節能減排，倡導綠色出行，今年3月以來．“共享單車”（俗稱“小黃車”）公益活動登陸我市中心城區，某公司擬在甲、乙兩個街道社區投放一批“小黃車”，這批自行車包括A、B兩種不同款型，請回答下列問題：

問題1：單價

該公司早期在甲街區進行了試點投放，共投放A、B兩型自行車各50輛，投放成本共計7500元，其中B型車的成本單價比A型車高10元，A、B兩型自行車的單價各是多少？

問題2：投放方式

該公司決定采取如下投放方式：甲街區每1000人投放a輛“小黃車”，乙街區每1000人投放輛“小黃車”，按照這種投放方式，甲街區共投放1500輛，乙街區共投放1200輛，如果兩個街區共有15萬人，試求a的值．

26．邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（點P與A、C不重合），連接BP，將BP繞點B順時針旋轉90°到BQ，連接QP，QP與BC交于點E，QP延長線與AD（或AD延長線）交于點F．

（1）連接CQ，證明：CQ=AP；

（2）設AP=x，CE=y，試寫出y關于x的函數關系式，并求當x為何值時，CE=BC；

（3）猜想PF與EQ的數量關系，并證明你的結論．

27．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b為常數）與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點，直線AB的函數關系式為y=x+．

（1）求該拋物線的函數關系式與C點坐標；

（2）已知點M（m，0）是線段OA上的一個動點，過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，當m為何值時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？

（3）在（2）問條件下，當△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時，動點M相應位置記為點M′，將OM′繞原點O順時針旋轉得到ON（旋轉角在0°到90°之間）；

i：探究：線段OB上是否存在定點P（P不與O、B重合），無論ON如何旋轉，始終保持不變，若存在，試求出P點坐標；若不存在，請說明理由；

ii：試求出此旋轉過程中，（NA+NB）的最小值．

2017年遵義中考數學試題參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）

1．﹣3的相反數是（　　）

A．﹣3????????????? B．3????????????? C．????????????? D．

【考點】14：相反數．

【分析】依據相反數的定義解答即可．

【解答】解：﹣3的相反數是3．

故選：B．

2．2017年遵義市固定資產總投資計劃為2580億元，將2580億元用科學記數法表示為（　　）

A．2.58×1011????????????? B．2.58×1012????????????? C．2.58×1013????????????? D．2.58×1014

【考點】1I：科學記數法—表示較大的數．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：將2580億用科學記數法表示為：2.58×1011．

故選：A．

3．把一張長方形紙片按如圖①，圖②的方式從右向左連續對折兩次后得到圖③，再在圖③中挖去一個如圖所示的三角形小孔，則重新展開后得到的圖形是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】P9：剪紙問題．

【分析】解答該類剪紙問題，通過自己動手操作即可得出答案．

【解答】解：重新展開后得到的圖形是C，

故選C．

4．下列運算正確的是（　　）

A．2a5﹣3a5=a5????????????? B．a2?a3=a6????????????? C．a7÷a5=a2????????????? D．（a2b）3=a5b3

【考點】48：同底數冪的除法；35：合并同類項；46：同底數冪的乘法；47：冪的乘方與積的乘方．

【分析】根據合并同類項、同底數冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方的計算法則進行解答．

【解答】解：A、原式=﹣a5，故本選項錯誤；

B、原式=a5，故本選項錯誤；

C、原式=a2，故本選項正確；

D、原式=a6b3，故本選項錯誤；

故選：C．

5．我市連續7天的最高氣溫為：28°，27°，30°，33°，30°，30°，32°，這組數據的平均數和眾數分別是（　　）

A．28°，30°????????????? B．30°，28°????????????? C．31°，30°????????????? D．30°，30°

【考點】W5：眾數；W1：算術平均數．

【分析】根據平均數和眾數的定義及計算公式分別進行解答，即可求出答案．

【解答】解：數據28°，27°，30°，33°，30°，30°，32°的平均數是（28+27+30+33+30+30+32）÷7=30，

30出現了3次，出現的次數最多，則眾數是30；

故選D．

6．把一塊等腰直角三角尺和直尺如圖放置，如果∠1=30°，則∠2的度數為（　　）

[來源:Z+xx+k.Com]

A．45°????????????? B．30°????????????? C．20°????????????? D．15°

【考點】JA：平行線的性質．

【分析】先根據平行線的性質，可得∠4的度數，再根據三角形外角性質，即可得到∠2的度數．

【解答】解：∵∠1=30°，

∴∠3=90°﹣30°=60°，

∵直尺的對邊平行，

∴∠4=∠3=60°，

又∵∠4=∠2+∠5，∠5=45°，

∴∠2=60°﹣45°=15°，

故選：D．

7．不等式6﹣4x≥3x﹣8的非負整數解為（　　）

A．2個????????????? B．3個????????????? C．4個????????????? D．5個

【考點】C7：一元一次不等式的整數解．

【分析】首先利用不等式的基本性質解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的非負整數即可．

【解答】解：移項得，﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6，

合并同類項得，﹣7x≥﹣14，

系數化為1得，x≤2．

故其非負整數解為：0，1，2，共3個．

故選B．

8．已知圓錐的底面積為9πcm2，母線長為6cm，則圓錐的側面積是（　　）

A．18πcm2????????????? B．27πcm2????????????? C．18cm2????????????? D．27cm2

【考點】MP：圓錐的計算．

【分析】首先根據圓錐的底面積求得圓錐的底面半徑，然后代入公式求得圓錐的側面積即可．

【解答】解：∵圓錐的底面積為9πcm2，

∴圓錐的底面半徑為3，

∵母線長為6cm，

∴側面積為3×6π=18πcm2，

故選A；

9．關于x的一元二次方程x2+3x+m=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍為（　　）

A．m≤????????????? B．m????????????? C．m≤????????????? D．m

【考點】AA：根的判別式．

【分析】利用判別式的意義得到△=32﹣4m＞0，然后解不等式即可．

【解答】解：根據題意得△=32﹣4m＞0，

解得m＜．

故選B．

10．如圖，△ABC的面積是12，點D，E，F，G分別是BC，AD，BE，CE的中點，則△AFG的面積是（　　）

A．4.5????????????? B．5????????????? C．5.5????????????? D．6

【考點】KX：三角形中位線定理；K3：三角形的面積．

【分析】根據中線的性質，可得△AEF的面積=×△ABE的面積=×△ABD的面積=×△ABC的面積=，△AEG的面積=，根據三角形中位線的性質可得△EFG的面積=×△BCE的面積=，進而得到△AFG的面積．

【解答】解：∵點D，E，F，G分別是BC，AD，BE，CE的中點，

∴AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，CF是△ACD的中線，AF是△ABE的中線，AG是△ACE的中線，

∴△AEF的面積=×△ABE的面積=×△ABD的面積=×△ABC的面積=，

同理可得△AEG的面積=，

△BCE的面積=×△ABC的面積=6，

又∵FG是△BCE的中位線，

∴△EFG的面積=×△BCE的面積=，

∴△AFG的面積是×3=，

故選：A．

11．如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點（﹣1，0），對稱軸l如圖所示，則下列結論：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正確的結論是（　　）

A．①③????????????? B．②③????????????? C．②④????????????? D．②③④

【考點】H4：二次函數圖象與系數的關系．

【分析】①根據開口向下得出a＜0，根據對稱軸在y軸右側，得出b＞0，根據圖象與y軸的交點在y軸的正半軸上，得出c＞0，從而得出abc＜0，進而判斷①錯誤；

②由拋物線y=ax2+bx+c經過點（﹣1，0），即可判斷②正確；

③由圖可知，x=2時，y＜0，即4a+2b+c＜0，把b=a+c代入即可判斷③正確；

④由圖可知，x=2時，y＜0，即4a+2b+c＜0，把c=b﹣a代入即可判斷④正確．

【解答】解：①∵二次函數圖象的開口向下，

∴a＜0，

∵二次函數圖象的對稱軸在y軸右側，

∴﹣＞0，

∴b＞0，

∵二次函數的圖象與y軸的交點在y軸的正半軸上，

∴c＞0，

∴abc＜0，故①錯誤；

②∵拋物線y=ax2+bx+c經過點（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，故②正確；

③∵a﹣b+c=0，∴b=a+c．

由圖可知，x=2時，y＜0，即4a+2b+c＜0，

∴4a+2（a+c）+c＜0，

∴6a+3c＜0，∴2a+c＜0，故③正確；

④∵a﹣b+c=0，∴c=b﹣a．

由圖可知，x=2時，y＜0，即4a+2b+c＜0，

∴4a+2b+b﹣a＜0，

∴3a+3b＜0，∴a+b＜0，故④正確．

故選D．

12．如圖，△ABC中，E是BC中點，AD是∠BAC的平分線，EF∥AD交AC于F．若AB=11，AC=15，則FC的長為（　　）

A．11????????????? B．12????????????? C．13????????????? D．14

【考點】JA：平行線的性質；KF：角平分線的性質．

【分析】根據角平分線的性質即可得出==，結合E是BC中點，即可得出=，由EF∥AD即可得出==，進而可得出CF=CA=13，此題得解．

【解答】解：∵AD是∠BAC的平分線，AB=11，AC=15，

∴==．

∵E是BC中點，

∴==．

∵EF∥AD，

∴==，

∴CF=CA=13．

故選C．

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）

13．計算： =　3　．

【考點】78：二次根式的加減法．

【分析】先進行二次根式的化簡，然后合并．

【解答】解： =2+

=3．

故答案為：3．

14．一個正多邊形的一個外角為30°，則它的內角和為　1800°　．

【考點】L3：多邊形內角與外角．

【分析】先利用多邊形的外角和等于360度計算出多邊形的邊數，然后根據多邊形的內角和公式計算．

【解答】解：這個正多邊形的邊數為=12，

所以這個正多邊形的內角和為（12﹣2）×180°=1800°．

故答案為1800°．

15．按一定規律排列的一列數依次為：，1，，，，，…，按此規律，這列數中的第100個數是　　．

【考點】37：規律型：數字的變化類．

【分析】根據按一定規律排列的一列數依次為：，，，，，，…，可得第n個數為，據此可得第100個數．

【解答】解：按一定規律排列的一列數依次為：，，，，，，…，

按此規律，第n個數為，

∴當n=100時， =，

即這列數中的第100個數是，

故答案為：．

16．明代數學家程大位的《算法統宗》中有這樣一個問題（如圖），其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八兩，請問：所分的銀子共有　46　兩．（注：明代時1斤=16兩，故有“半斤八兩”這個成語）

【考點】8A：一元一次方程的應用．

【分析】可設有x人，根據有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八兩，根據所分的銀子的總兩數相等可列出方程，求解即可．

【解答】解：設有x人，依題意有

7x+4=9x﹣8，

解得x=6，

7x+4=42+4=46．

答：所分的銀子共有46兩．

故答案為：46．

17．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，點M是OA的中點，過點M的直線與⊙O交于C，D兩點．若∠CMA=45°，則弦CD的長為　　．

【考點】M2：垂徑定理；KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形．

【分析】連接OD，作OE⊥CD于E，由垂徑定理得出CE=DE，證明△OEM是等腰直角三角形，由勾股定理得出OE=OM=，在Rt△ODE中，由勾股定理求出DE=，得出CD=2DE=即可．

【解答】解：連接OD，作OE⊥CD于E，如圖所示：

則CE=DE，

∵AB是⊙O的直徑，AB=4，點M是OA的中點，

∴OD=OA=2，OM=1，

∵∠OME=∠CMA=45°，

∴△OEM是等腰直角三角形，

∴OE=OM=，

在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE==，

∴CD=2DE=；

故答案為：．

18．如圖，點E，F在函數y=的圖象上，直線EF分別與x軸、y軸交于點A、B，且BE：BF=1：3，則△EOF的面積是　　．

【考點】G5：反比例函數系數k的幾何意義．

【分析】證明△BPE∽△BHF，利用相似比可得HF=4PE，根據反比例函數圖象上點的坐標特征，設E點坐標為（t，），則F點的坐標為（3t，），由于S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，S△OFD=S△OEC=1，所以S△OEF=S梯形ECDF，然后根據梯形面積公式計算即可．

【解答】解：作EP⊥y軸于P，EC⊥x軸于C，FD⊥x軸于D，FH⊥y軸于H，如圖所示：

∵EP⊥y軸，FH⊥y軸，

∴EP∥FH，

∴△BPE∽△BHF，

∴=，即HF=3PE，

設E點坐標為（t，），則F點的坐標為（3t，），

∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，

而S△OFD=S△OEC=×2=1，

∴S△OEF=S梯形ECDF=（+）（3t﹣t）=；

故答案為：．

三、解答題（本大題共9小題，共90分）

19．計算：|﹣2|+（4﹣π）0﹣+（﹣1）﹣2017．

【考點】2C：實數的運算；6E：零指數冪；6F：負整數指數冪．

【分析】首先計算乘方、開方，然后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可．

【解答】解：|﹣2|+（4﹣π）0﹣+（﹣1）﹣2017

=2+1﹣2﹣1

=0

20．化簡分式：（﹣）÷，并從1，2，3，4這四個數中取一個合適的數作為x的值代入求值．

【考點】6D：分式的化簡求值．

【分析】利用分式的運算，先對分式化簡單，再選擇使分式有意義的數代入求值即可．

【解答】解：

（﹣）÷

=[﹣）÷

=（﹣）÷

=×

=x+2，

∵x2﹣4≠0，x﹣3≠0，

∴x≠2且x≠﹣2且x≠3，

∴可取x=1代入，原式=3．

21．學校召集留守兒童過端午節，桌上擺有甲、乙兩盤粽子，每盤中盛有白粽2個，豆沙粽1個，肉粽1個（粽子外觀完全一樣）．

（1）小明從甲盤中任取一個粽子，取到豆沙粽的概率是　　；

（2）小明在甲盤和乙盤中先后各取了一個粽子，請用樹狀圖或列表法求小明恰好取到兩個白粽子的概率．

【考點】X6：列表法與樹狀圖法；X4：概率公式．

【分析】（1）由甲盤中一共有4個粽子，其中豆沙粽子只有1個，根據概率公式求解可得；

（2）根據題意畫出樹狀圖，由樹狀圖得出一共有16種等可能結果，其中恰好取到兩個白粽子有4種結果，根據概率公式求解可得．

【解答】解：（1）∵甲盤中一共有4個粽子，其中豆沙粽子只有1個，

∴小明從甲盤中任取一個粽子，取到豆沙粽的概率是，

故答案為：；

（2）畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知，一共有16種等可能結果，其中恰好取到兩個白粽子有4種結果，

∴小明恰好取到兩個白粽子的概率為=．

22．烏江快鐵大橋是快鐵渝黔線的一項重要工程，由主橋AB和引橋BC兩部分組成（如圖所示），建造前工程師用以下方式做了測量；無人機在A處正上方97m處的P點，測得B處的俯角為30°（當時C處被小山體阻擋無法觀測），無人機飛行到B處正上方的D處時能看到C處，此時測得C處俯角為80°36′．

（1）求主橋AB的長度；

（2）若兩觀察點P、D的連線與水平方向的夾角為30°，求引橋BC的長．

（長度均精確到1m，參考數據：≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06）

【考點】TA：解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題．

【分析】（1）在Rt△ABP中，由AB=可得答案；

（2）由∠ABP=30°、AP=97知PB=2PA=194，再證△PBD是等邊三角形得DB=PB=194m，根據BC=可得答案．

【解答】解：（1）由題意知∠ABP=30°、AP=97，

∴AB====97≈168m，

答：主橋AB的長度約為168m；

（2）∵∠ABP=30°、AP=97，

∴PB=2PA=194，

又∵∠DBC=∠DBA=90°、∠PBA=30°，

∴∠DBP=∠DPB=60°，

∴△PBD是等邊三角形，

∴DB=PB=194，

在Rt△BCD中，∵∠C=80°36′，

∴BC==≈32，

答：引橋BC的長約為32m.

23．貴州省是我國首個大數據綜合試驗區，大數據在推動經濟發展、改善公共服務等方面日益顯示出巨大的價值，為創建大數據應用示范城市，我市某機構針對市民最關心的四類生活信息進行了民意調查（被調查者每人限選一項），下面是部分四類生活信息關注度統計圖表，請根據圖中提供的信息解答下列問題：

（1）本次參與調查的人數有　1000　人；

（2）關注城市醫療信息的有　150　人，并補全條形統計圖；

（3）扇形統計圖中，D部分的圓心角是　144　度；

（4）說一條你從統計圖中獲取的信息．

【考點】VC：條形統計圖；VB：扇形統計圖．

【分析】（1）由C類別人數占總人數的20%即可得出答案；

（2）根據各類別人數之和等于總人數可得B類別的人數；

（3）用360°乘以D類別人數占總人數的比例可得答案；

（4）根據條形圖或扇形圖得出合理信息即可．

【解答】解：（1）本次參與調查的人數有200÷20%=1000（人），

故答案為：1000；

（2）關注城市醫療信息的有1000﹣=150人，補全條形統計圖如下：

故答案為：150；

（3）扇形統計圖中，D部分的圓心角是360°×=144°，

故答案為：144；

（4）由條形統計圖可知，市民關注交通信息的人數最多．

24．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠APB=60°，連接PO并延長與⊙O交于C點，連接AC，BC．

（1）求證：四邊形ACBP是菱形；

（2）若⊙O半徑為1，求菱形ACBP的面積．

【考點】MC：切線的性質；LA：菱形的判定與性質．

【分析】（1）連接AO，BO，根據PA、PB是⊙O的切線，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，由三角形的內角和得到∠AOP=60°，根據三角形外角的性質得到∠ACO=30°，得到AC=AP，同理BC=PB，于是得到結論；

（2）連接AB交PC于D，根據菱形的性質得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到結論．

【解答】解：（1）連接AO，BO，

∵PA、PB是⊙O的切線，

∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，

∴∠AOP=60°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，

∴∠ACO=30°，

∴∠ACO=∠APO，

∴AC=AP，

同理BC=PB，

∴AC=BC=BP=AP，

∴四邊形ACBP是菱形；

（2）連接AB交PC于D，

∴AD⊥PC，

∴OA=1，∠AOP=60°，

∴AD=OA=，

∴PD=，

∴PC=3，AB=，

∴菱形ACBP的面積=AB?PC=．

25．為厲行節能減排，倡導綠色出行，今年3月以來．“共享單車”（俗稱“小黃車”）公益活動登陸我市中心城區，某公司擬在甲、乙兩個街道社區投放一批“小黃車”，這批自行車包括A、B兩種不同款型，請回答下列問題：

問題1：單價

該公司早期在甲街區進行了試點投放，共投放A、B兩型自行車各50輛，投放成本共計7500元，其中B型車的成本單價比A型車高10元，A、B兩型自行車的單價各是多少？

問題2：投放方式

該公司決定采取如下投放方式：甲街區每1000人投放a輛“小黃車”，乙街區每1000人投放輛“小黃車”，按照這種投放方式，甲街區共投放1500輛，乙街區共投放1200輛，如果兩個街區共有15萬人，試求a的值．

【考點】B7：分式方程的應用；9A：二元一次方程組的應用．

【分析】問題1：設A型車的成本單價為x元，則B型車的成本單價為（x+10）元，根據成本共計7500元，列方程求解即可；

問題2：根據兩個街區共有15萬人，列出分式方程進行求解并檢驗即可．

【解答】解：問題1

設A型車的成本單價為x元，則B型車的成本單價為（x+10）元，依題意得

50x+50（x+10）=7500，

解得x=70，

∴x+10=80，

答：A、B兩型自行車的單價分別是70元和80元；

問題2

由題可得，×1000+×1000=150000，

解得a=15，

經檢驗：a=15是所列方程的解，

故a的值為15．

26．邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（點P與A、C不重合），連接BP，將BP繞點B順時針旋轉90°到BQ，連接QP，QP與BC交于點E，QP延長線與AD（或AD延長線）交于點F．

（1）連接CQ，證明：CQ=AP；[來源:.Com]

（2）設AP=x，CE=y，試寫出y關于x的函數關系式，并求當x為何值時，CE=BC；

（3）猜想PF與EQ的數量關系，并證明你的結論．

【考點】LO：四邊形綜合題．

【分析】（1）證出∠ABP=∠CBQ，由SAS證明△BAP≌△BCQ可得結論；

（2）如圖1證明△APB∽△CEP，列比例式可得y與x的關系式，根據CE=BC計算CE的長，即y的長，代入關系式解方程可得x的值；

（3）如圖3，作輔助線，構建全等三角形，證明△PGB≌△QEB，得EQ=PG，由F、A、G、P四點共圓，

得∠FGP=∠FAP=45°，所以△FPG是等腰直角三角形，可得結論．[來源:學科網]

如圖4，當F在AD的延長線上時，同理可得結論．

【解答】（1）證明：如圖1，∵線段BP繞點B順時針旋轉90°得到線段BQ，

∴BP=BQ，∠PBQ=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BA=BC，∠ABC=90°．

∴∠ABC=∠PBQ．

∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP=∠CBQ．

在△BAP和△BCQ中，

∵，

∴△BAP≌△BCQ（SAS）．

∴CQ=AP；

（2）解：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠BAD=45°，∠BCA=∠BCD=45°，

∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°，

∵DC=AD=2，

由勾股定理得：AC==4，

∵AP=x，

∴PC=4﹣x，

∵△PBQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ=45°，

∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，

∴∠CPQ=∠ABP，

∵∠BAC=∠ACB=45°，

∴△APB∽△CEP，

∴，

∴，

∴y=x（4﹣x）=﹣x（0＜x＜4），

由CE=BC==，

∴y=﹣x=，

x2﹣4x=3=0，

（x﹣3）（x﹣1）=0，

x=3或1，

∴當x=3或1時，CE=BC；

（3）解：結論：PF=EQ，理由是：

如圖3，當F在邊AD上時，過P作PG⊥FQ，交AB于G，則∠GPF=90°，

∵∠BPQ=45°，

∴∠GPB=45°，

∴∠GPB=∠PQB=45°，

∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，

∴△PGB≌△QEB，

∴EQ=PG，

∵∠BAD=90°，

∴F、A、G、P四點共圓，

連接FG，

∴∠FGP=∠FAP=45°，

∴△FPG是等腰直角三角形，

∴PF=PG，

∴PF=EQ．

當F在AD的延長線上時，如圖4，同理可得：PF=PG=EQ．

27．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b為常數）與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點，直線AB的函數關系式為y=x+．

（1）求該拋物線的函數關系式與C點坐標；

（2）已知點M（m，0）是線段OA上的一個動點，過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，當m為何值時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？

（3）在（2）問條件下，當△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時，動點M相應位置記為點M′，將OM′繞原點O順時針旋轉得到ON（旋轉角在0°到90°之間）；

i：探究：線段OB上是否存在定點P（P不與O、B重合），無論ON如何旋轉，始終保持不變，若存在，試求出P點坐標；若不存在，請說明理由；

ii：試求出此旋轉過程中，（NA+NB）的最小值．

【考點】HF：二次函數綜合題．

【分析】（1）根據已知條件得到B（0，），A（﹣6，0），解方程組得到拋物線的函數關系式為：y=﹣x2﹣x+，于是得到C（1，0）；

（2）由點M（m，0），過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，得到D（m， m+），當DE為底時，作BG⊥DE于G，根據等腰三角形的性質得到EG=GD=ED，GM=OB=，列方程即可得到結論；

（3）i：根據已知條件得到ON=OM′=4，OB=，由∠NOP=∠BON，特殊的當△NOP∽△BON時，根據相似三角形的性質得到=，于是得到結論；

ii：根據題意得到N在以O為圓心，4為半徑的半圓上，由（i）知， =，得到NP=NB，于是得到（NA+NB）的最小值=NA+NP，此時N，A，P三點共線，根據勾股定理得到結論．

【解答】解：（1）在y=x+中，令x=0，則y=，令y=0，則x=﹣6，

∴B（0，），A（﹣6，0），

把B（0，），A（﹣6，0）代入y=ax2+bx﹣a﹣b得，

∴，

∴拋物線的函數關系式為：y=﹣x2﹣x+，

令y=0，則=﹣x2﹣x+=0，

∴x1=﹣6，x2=1，

∴C（1，0）；

（2）∵點M（m，0），過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，

∴D（m， m+），當DE為底時，

作BG⊥DE于G，則EG=GD=ED，GM=OB=，

∴m+（﹣m2﹣m++m+）=，

解得：m1=﹣4，m2=9（不合題意，舍去），[來源:Z§xx§k.Com]

∴當m=﹣4時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形；

（3）i：存在，

∵ON=OM′=4，OB=，

∵∠NOP=∠BON，

∴當△NOP∽△BON時， =，

∴不變，

即OP==3，

∴P（0，3）

ii：∵N在以O為圓心，4為半徑的半圓上，由（i）知， =，

∴NP=NB，

∴（NA+NB）的最小值=NA+NP，

∴此時N，A，P三點共線，

∴（NA+NB）的最小值==3．