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2017年遵義中考數學試題
一、數學試題選擇題(本大題共12小題,每小題3分,共36分)
1.﹣3的相反數是( )
A.﹣3????????????? B.3????????????? C.????????????? D.
2.2017年遵義市固定資產總投資計劃為2580億元,將2580億元用科學記數法表示為( )
A.2.58×1011????????????? B.2.58×1012????????????? C.2.58×1013????????????? D.2.58×1014
3.把一張長方形紙片按如圖①,圖②的方式從右向左連續對折兩次后得到圖③,再在圖③中挖去一個如圖所示的三角形小孔,則重新展開后得到的圖形是( )
A.????????????? B.
????????????? C.
????????????? D.
4.下列運算正確的是( )
A.2a5﹣3a5=a5????????????? B.a2?a3=a6????????????? C.a7÷a5=a2????????????? D.(a2b)3=a5b3
5.我市連續7天的最高氣溫為:28°,27°,30°,33°,30°,30°,32°,這組數據的平均數和眾數分別是( )
A.28°,30°????????????? B.30°,28°????????????? C.31°,30°????????????? D.30°,30°
6.把一塊等腰直角三角尺和直尺如圖放置,如果∠1=30°,則∠2的度數為( )
A.45°????????????? B.30°????????????? C.20°????????????? D.15°
7.不等式6﹣4x≥3x﹣8的非負整數解為( )
A.2個????????????? B.3個????????????? C.4個????????????? D.5個
8.已知圓錐的底面積為9πcm2,母線長為6cm,則圓錐的側面積是( )
A.18πcm2????????????? B.27πcm2????????????? C.18cm2????????????? D.27cm2
9.關于x的一元二次方程x2+3x+m=0有兩個不相等的實數根,則m的取值范圍為( )
A.m≤????????????? B.m
????????????? C.m≤
????????????? D.m
10.如圖,△ABC的面積是12,點D,E,F,G分別是BC,AD,BE,CE的中點,則△AFG的面積是( )
A.4.5????????????? B.5????????????? C.5.5????????????? D.6
11.如圖,拋物線y=ax2+bx+c經過點(﹣1,0),對稱軸l如圖所示,則下列結論:①abc>0;②a﹣b+c=0;③2a+c<0;④a+b<0,其中所有正確的結論是( )
A.①③????????????? B.②③????????????? C.②④????????????? D.②③④
12.如圖,△ABC中,E是BC中點,AD是∠BAC的平分線,EF∥AD交AC于F.若AB=11,AC=15,則FC的長為( )
A.11????????????? B.12????????????? C.13????????????? D.14
二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)
13.計算: = ?? .
14.一個正多邊形的一個外角為30°,則它的內角和為 ?? .
15.按一定規律排列的一列數依次為:,1,
,
,
,
,…,按此規律,這列數中的第100個數是 ?? .
16.明代數學家程大位的《算法統宗》中有這樣一個問題(如圖),其大意為:有一群人分銀子,如果每人分七兩,則剩余四兩;如果每人分九兩,則還差八兩,請問:所分的銀子共有 ?? 兩.(注:明代時1斤=16兩,故有“半斤八兩”這個成語)
17.如圖,AB是⊙O的直徑,AB=4,點M是OA的中點,過點M的直線與⊙O交于C,D兩點.若∠CMA=45°,則弦CD的長為 ?? .
18.如圖,點E,F在函數y=的圖象上,直線EF分別與x軸、y軸交于點A、B,且BE:BF=1:3,則△EOF的面積是 ?? .
三、解答題(本大題共9小題,共90分)
19.計算:|﹣2|+(4﹣π)0﹣
+(﹣1)﹣2017.
20.化簡分式:(﹣
)÷
,并從1,2,3,4這四個數中取一個合適的數作為x的值代入求值.
21.學校召集留守兒童過端午節,桌上擺有甲、乙兩盤粽子,每盤中盛有白粽2個,豆沙粽1個,肉粽1個(粽子外觀完全一樣).
(1)小明從甲盤中任取一個粽子,取到豆沙粽的概率是 ?? ;
(2)小明在甲盤和乙盤中先后各取了一個粽子,請用樹狀圖或列表法求小明恰好取到兩個白粽子的概率.
22.烏江快鐵大橋是快鐵渝黔線的一項重要工程,由主橋AB和引橋BC兩部分組成(如圖所示),建造前工程師用以下方式做了測量;無人機在A處正上方97m處的P點,測得B處的俯角為30°(當時C處被小山體阻擋無法觀測),無人機飛行到B處正上方的D處時能看到C處,此時測得C處俯角為80°36′.
(1)求主橋AB的長度;[來源:學科網]
(2)若兩觀察點P、D的連線與水平方向的夾角為30°,求引橋BC的長.
(長度均精確到1m,參考數據:≈1.73,sin80°36′≈0.987,cos80°36′≈0.163,tan80°36′≈6.06)
23.貴州省是我國首個大數據綜合試驗區,大數據在推動經濟發展、改善公共服務等方面日益顯示出巨大的價值,為創建大數據應用示范城市,我市某機構針對市民最關心的四類生活信息進行了民意調查(被調查者每人限選一項),下面是部分四類生活信息關注度統計圖表,請根據圖中提供的信息解答下列問題:
(1)本次參與調查的人數有 ?? 人;
(2)關注城市醫療信息的有 ?? 人,并補全條形統計圖;
(3)扇形統計圖中,D部分的圓心角是 ?? 度;
(4)說一條你從統計圖中獲取的信息.
24.如圖,PA、PB是⊙O的切線,A、B為切點,∠APB=60°,連接PO并延長與⊙O交于C點,連接AC,BC.
(1)求證:四邊形ACBP是菱形;
(2)若⊙O半徑為1,求菱形ACBP的面積.
25.為厲行節能減排,倡導綠色出行,今年3月以來.“共享單車”(俗稱“小黃車”)公益活動登陸我市中心城區,某公司擬在甲、乙兩個街道社區投放一批“小黃車”,這批自行車包括A、B兩種不同款型,請回答下列問題:
問題1:單價
該公司早期在甲街區進行了試點投放,共投放A、B兩型自行車各50輛,投放成本共計7500元,其中B型車的成本單價比A型車高10元,A、B兩型自行車的單價各是多少?
問題2:投放方式
該公司決定采取如下投放方式:甲街區每1000人投放a輛“小黃車”,乙街區每1000人投放輛“小黃車”,按照這種投放方式,甲街區共投放1500輛,乙街區共投放1200輛,如果兩個街區共有15萬人,試求a的值.
26.邊長為2的正方形ABCD中,P是對角線AC上的一個動點(點P與A、C不重合),連接BP,將BP繞點B順時針旋轉90°到BQ,連接QP,QP與BC交于點E,QP延長線與AD(或AD延長線)交于點F.
(1)連接CQ,證明:CQ=AP;
(2)設AP=x,CE=y,試寫出y關于x的函數關系式,并求當x為何值時,CE=BC;
(3)猜想PF與EQ的數量關系,并證明你的結論.
27.如圖,拋物線y=ax2+bx﹣a﹣b(a<0,a、b為常數)與x軸交于A、C兩點,與y軸交于B點,直線AB的函數關系式為y=x+
.
(1)求該拋物線的函數關系式與C點坐標;
(2)已知點M(m,0)是線段OA上的一個動點,過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點,當m為何值時,△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形?
(3)在(2)問條件下,當△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時,動點M相應位置記為點M′,將OM′繞原點O順時針旋轉得到ON(旋轉角在0°到90°之間);
i:探究:線段OB上是否存在定點P(P不與O、B重合),無論ON如何旋轉,始終保持不變,若存在,試求出P點坐標;若不存在,請說明理由;
ii:試求出此旋轉過程中,(NA+NB)的最小值.
2017年遵義中考數學試題參考答案
一、選擇題(本大題共12小題,每小題3分,共36分)
1.﹣3的相反數是( )
A.﹣3????????????? B.3????????????? C.????????????? D.
【考點】14:相反數.
【分析】依據相反數的定義解答即可.
【解答】解:﹣3的相反數是3.
故選:B.
2.2017年遵義市固定資產總投資計劃為2580億元,將2580億元用科學記數法表示為( )
A.2.58×1011????????????? B.2.58×1012????????????? C.2.58×1013????????????? D.2.58×1014
【考點】1I:科學記數法—表示較大的數.
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數.確定n的值時,要看把原數變成a時,小數點移動了多少位,n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值>1時,n是正數;當原數的絕對值<1時,n是負數.
【解答】解:將2580億用科學記數法表示為:2.58×1011.
故選:A.
3.把一張長方形紙片按如圖①,圖②的方式從右向左連續對折兩次后得到圖③,再在圖③中挖去一個如圖所示的三角形小孔,則重新展開后得到的圖形是( )
A.????????????? B.
????????????? C.
????????????? D.
【考點】P9:剪紙問題.
【分析】解答該類剪紙問題,通過自己動手操作即可得出答案.
【解答】解:重新展開后得到的圖形是C,
故選C.
4.下列運算正確的是( )
A.2a5﹣3a5=a5????????????? B.a2?a3=a6????????????? C.a7÷a5=a2????????????? D.(a2b)3=a5b3
【考點】48:同底數冪的除法;35:合并同類項;46:同底數冪的乘法;47:冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據合并同類項、同底數冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方的計算法則進行解答.
【解答】解:A、原式=﹣a5,故本選項錯誤;
B、原式=a5,故本選項錯誤;
C、原式=a2,故本選項正確;
D、原式=a6b3,故本選項錯誤;
故選:C.
5.我市連續7天的最高氣溫為:28°,27°,30°,33°,30°,30°,32°,這組數據的平均數和眾數分別是( )
A.28°,30°????????????? B.30°,28°????????????? C.31°,30°????????????? D.30°,30°
【考點】W5:眾數;W1:算術平均數.
【分析】根據平均數和眾數的定義及計算公式分別進行解答,即可求出答案.
【解答】解:數據28°,27°,30°,33°,30°,30°,32°的平均數是(28+27+30+33+30+30+32)÷7=30,
30出現了3次,出現的次數最多,則眾數是30;
故選D.
6.把一塊等腰直角三角尺和直尺如圖放置,如果∠1=30°,則∠2的度數為( )
[來源:Z+xx+k.Com]
A.45°????????????? B.30°????????????? C.20°????????????? D.15°
【考點】JA:平行線的性質.
【分析】先根據平行線的性質,可得∠4的度數,再根據三角形外角性質,即可得到∠2的度數.
【解答】解:∵∠1=30°,
∴∠3=90°﹣30°=60°,
∵直尺的對邊平行,
∴∠4=∠3=60°,
又∵∠4=∠2+∠5,∠5=45°,
∴∠2=60°﹣45°=15°,
故選:D.
7.不等式6﹣4x≥3x﹣8的非負整數解為( )
A.2個????????????? B.3個????????????? C.4個????????????? D.5個
【考點】C7:一元一次不等式的整數解.
【分析】首先利用不等式的基本性質解不等式,再從不等式的解集中找出適合條件的非負整數即可.
【解答】解:移項得,﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6,
合并同類項得,﹣7x≥﹣14,
系數化為1得,x≤2.
故其非負整數解為:0,1,2,共3個.
故選B.
8.已知圓錐的底面積為9πcm2,母線長為6cm,則圓錐的側面積是( )
A.18πcm2????????????? B.27πcm2????????????? C.18cm2????????????? D.27cm2
【考點】MP:圓錐的計算.
【分析】首先根據圓錐的底面積求得圓錐的底面半徑,然后代入公式求得圓錐的側面積即可.
【解答】解:∵圓錐的底面積為9πcm2,
∴圓錐的底面半徑為3,
∵母線長為6cm,
∴側面積為3×6π=18πcm2,
故選A;
9.關于x的一元二次方程x2+3x+m=0有兩個不相等的實數根,則m的取值范圍為( )
A.m≤????????????? B.m
????????????? C.m≤
????????????? D.m
【考點】AA:根的判別式.
【分析】利用判別式的意義得到△=32﹣4m>0,然后解不等式即可.
【解答】解:根據題意得△=32﹣4m>0,
解得m<.
故選B.
10.如圖,△ABC的面積是12,點D,E,F,G分別是BC,AD,BE,CE的中點,則△AFG的面積是( )
A.4.5????????????? B.5????????????? C.5.5????????????? D.6
【考點】KX:三角形中位線定理;K3:三角形的面積.
【分析】根據中線的性質,可得△AEF的面積=×△ABE的面積=
×△ABD的面積=
×△ABC的面積=
,△AEG的面積=
,根據三角形中位線的性質可得△EFG的面積=
×△BCE的面積=
,進而得到△AFG的面積.
【解答】解:∵點D,E,F,G分別是BC,AD,BE,CE的中點,
∴AD是△ABC的中線,BE是△ABD的中線,CF是△ACD的中線,AF是△ABE的中線,AG是△ACE的中線,
∴△AEF的面積=×△ABE的面積=
×△ABD的面積=
×△ABC的面積=
,
同理可得△AEG的面積=,
△BCE的面積=×△ABC的面積=6,
又∵FG是△BCE的中位線,
∴△EFG的面積=×△BCE的面積=
,
∴△AFG的面積是×3=
,
故選:A.
11.如圖,拋物線y=ax2+bx+c經過點(﹣1,0),對稱軸l如圖所示,則下列結論:①abc>0;②a﹣b+c=0;③2a+c<0;④a+b<0,其中所有正確的結論是( )
A.①③????????????? B.②③????????????? C.②④????????????? D.②③④
【考點】H4:二次函數圖象與系數的關系.
【分析】①根據開口向下得出a<0,根據對稱軸在y軸右側,得出b>0,根據圖象與y軸的交點在y軸的正半軸上,得出c>0,從而得出abc<0,進而判斷①錯誤;
②由拋物線y=ax2+bx+c經過點(﹣1,0),即可判斷②正確;
③由圖可知,x=2時,y<0,即4a+2b+c<0,把b=a+c代入即可判斷③正確;
④由圖可知,x=2時,y<0,即4a+2b+c<0,把c=b﹣a代入即可判斷④正確.
【解答】解:①∵二次函數圖象的開口向下,
∴a<0,
∵二次函數圖象的對稱軸在y軸右側,
∴﹣>0,
∴b>0,
∵二次函數的圖象與y軸的交點在y軸的正半軸上,
∴c>0,
∴abc<0,故①錯誤;
②∵拋物線y=ax2+bx+c經過點(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,故②正確;
③∵a﹣b+c=0,∴b=a+c.
由圖可知,x=2時,y<0,即4a+2b+c<0,
∴4a+2(a+c)+c<0,
∴6a+3c<0,∴2a+c<0,故③正確;
④∵a﹣b+c=0,∴c=b﹣a.
由圖可知,x=2時,y<0,即4a+2b+c<0,
∴4a+2b+b﹣a<0,
∴3a+3b<0,∴a+b<0,故④正確.
故選D.
12.如圖,△ABC中,E是BC中點,AD是∠BAC的平分線,EF∥AD交AC于F.若AB=11,AC=15,則FC的長為( )
A.11????????????? B.12????????????? C.13????????????? D.14
【考點】JA:平行線的性質;KF:角平分線的性質.
【分析】根據角平分線的性質即可得出=
=
,結合E是BC中點,即可得出
=
,由EF∥AD即可得出
=
=
,進而可得出CF=
CA=13,此題得解.
【解答】解:∵AD是∠BAC的平分線,AB=11,AC=15,
∴=
=
.
∵E是BC中點,
∴=
=
.
∵EF∥AD,
∴=
=
,
∴CF=CA=13.
故選C.
二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)
13.計算: = 3
.
【考點】78:二次根式的加減法.
【分析】先進行二次根式的化簡,然后合并.
【解答】解: =2
+
=3.
故答案為:3.
14.一個正多邊形的一個外角為30°,則它的內角和為 1800° .
【考點】L3:多邊形內角與外角.
【分析】先利用多邊形的外角和等于360度計算出多邊形的邊數,然后根據多邊形的內角和公式計算.
【解答】解:這個正多邊形的邊數為=12,
所以這個正多邊形的內角和為(12﹣2)×180°=1800°.
故答案為1800°.
15.按一定規律排列的一列數依次為:,1,
,
,
,
,…,按此規律,這列數中的第100個數是
.
【考點】37:規律型:數字的變化類.
【分析】根據按一定規律排列的一列數依次為:,
,
,
,
,
,…,可得第n個數為
,據此可得第100個數.
【解答】解:按一定規律排列的一列數依次為:,
,
,
,
,
,…,
按此規律,第n個數為,
∴當n=100時, =
,
即這列數中的第100個數是,
故答案為:.
16.明代數學家程大位的《算法統宗》中有這樣一個問題(如圖),其大意為:有一群人分銀子,如果每人分七兩,則剩余四兩;如果每人分九兩,則還差八兩,請問:所分的銀子共有 46 兩.(注:明代時1斤=16兩,故有“半斤八兩”這個成語)
【考點】8A:一元一次方程的應用.
【分析】可設有x人,根據有一群人分銀子,如果每人分七兩,則剩余四兩;如果每人分九兩,則還差八兩,根據所分的銀子的總兩數相等可列出方程,求解即可.
【解答】解:設有x人,依題意有
7x+4=9x﹣8,
解得x=6,
7x+4=42+4=46.
答:所分的銀子共有46兩.
故答案為:46.
17.如圖,AB是⊙O的直徑,AB=4,點M是OA的中點,過點M的直線與⊙O交于C,D兩點.若∠CMA=45°,則弦CD的長為
.
【考點】M2:垂徑定理;KQ:勾股定理;KW:等腰直角三角形.
【分析】連接OD,作OE⊥CD于E,由垂徑定理得出CE=DE,證明△OEM是等腰直角三角形,由勾股定理得出OE=OM=
,在Rt△ODE中,由勾股定理求出DE=
,得出CD=2DE=
即可.
【解答】解:連接OD,作OE⊥CD于E,如圖所示:
則CE=DE,
∵AB是⊙O的直徑,AB=4,點M是OA的中點,
∴OD=OA=2,OM=1,
∵∠OME=∠CMA=45°,
∴△OEM是等腰直角三角形,
∴OE=OM=
,
在Rt△ODE中,由勾股定理得:DE==
,
∴CD=2DE=;
故答案為:.
18.如圖,點E,F在函數y=的圖象上,直線EF分別與x軸、y軸交于點A、B,且BE:BF=1:3,則△EOF的面積是
.
【考點】G5:反比例函數系數k的幾何意義.
【分析】證明△BPE∽△BHF,利用相似比可得HF=4PE,根據反比例函數圖象上點的坐標特征,設E點坐標為(t,),則F點的坐標為(3t,
),由于
S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF,S△OFD=S△OEC=1,所以S△OEF=S梯形ECDF,然后根據梯形面積公式計算即可.
【解答】解:作EP⊥y軸于P,EC⊥x軸于C,FD⊥x軸于D,FH⊥y軸于H,如圖所示:
∵EP⊥y軸,FH⊥y軸,
∴EP∥FH,
∴△BPE∽△BHF,
∴=
,即HF=3PE,
設E點坐標為(t,),則F點的坐標為(3t,
),
∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF,
而S△OFD=S△OEC=×2=1,
∴S△OEF=S梯形ECDF=(
+
)(3t﹣t)=
;
故答案為:.
三、解答題(本大題共9小題,共90分)
19.計算:|﹣2|+(4﹣π)0﹣
+(﹣1)﹣2017.
【考點】2C:實數的運算;6E:零指數冪;6F:負整數指數冪.
【分析】首先計算乘方、開方,然后從左向右依次計算,求出算式的值是多少即可.
【解答】解:|﹣2|+(4﹣π)0﹣
+(﹣1)﹣2017
=2+1﹣2
﹣1
=0
20.化簡分式:(﹣
)÷
,并從1,2,3,4這四個數中取一個合適的數作為x的值代入求值.
【考點】6D:分式的化簡求值.
【分析】利用分式的運算,先對分式化簡單,再選擇使分式有意義的數代入求值即可.
【解答】解:
(﹣
)÷
=[﹣
)÷
=(﹣
)÷
=×
=x+2,
∵x2﹣4≠0,x﹣3≠0,
∴x≠2且x≠﹣2且x≠3,
∴可取x=1代入,原式=3.
21.學校召集留守兒童過端午節,桌上擺有甲、乙兩盤粽子,每盤中盛有白粽2個,豆沙粽1個,肉粽1個(粽子外觀完全一樣).
(1)小明從甲盤中任取一個粽子,取到豆沙粽的概率是 ;
(2)小明在甲盤和乙盤中先后各取了一個粽子,請用樹狀圖或列表法求小明恰好取到兩個白粽子的概率.
【考點】X6:列表法與樹狀圖法;X4:概率公式.
【分析】(1)由甲盤中一共有4個粽子,其中豆沙粽子只有1個,根據概率公式求解可得;
(2)根據題意畫出樹狀圖,由樹狀圖得出一共有16種等可能結果,其中恰好取到兩個白粽子有4種結果,根據概率公式求解可得.
【解答】解:(1)∵甲盤中一共有4個粽子,其中豆沙粽子只有1個,
∴小明從甲盤中任取一個粽子,取到豆沙粽的概率是,
故答案為:;
(2)畫樹狀圖如下:
由樹狀圖可知,一共有16種等可能結果,其中恰好取到兩個白粽子有4種結果,
∴小明恰好取到兩個白粽子的概率為=
.
22.烏江快鐵大橋是快鐵渝黔線的一項重要工程,由主橋AB和引橋BC兩部分組成(如圖所示),建造前工程師用以下方式做了測量;無人機在A處正上方97m處的P點,測得B處的俯角為30°(當時C處被小山體阻擋無法觀測),無人機飛行到B處正上方的D處時能看到C處,此時測得C處俯角為80°36′.
(1)求主橋AB的長度;
(2)若兩觀察點P、D的連線與水平方向的夾角為30°,求引橋BC的長.
(長度均精確到1m,參考數據:≈1.73,sin80°36′≈0.987,cos80°36′≈0.163,tan80°36′≈6.06)
【考點】TA:解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題.
【分析】(1)在Rt△ABP中,由AB=可得答案;
(2)由∠ABP=30°、AP=97知PB=2PA=194,再證△PBD是等邊三角形得DB=PB=194m,根據BC=可得答案.
【解答】解:(1)由題意知∠ABP=30°、AP=97,
∴AB==
=
=97
≈168m,
答:主橋AB的長度約為168m;
(2)∵∠ABP=30°、AP=97,
∴PB=2PA=194,
又∵∠DBC=∠DBA=90°、∠PBA=30°,
∴∠DBP=∠DPB=60°,
∴△PBD是等邊三角形,
∴DB=PB=194,
在Rt△BCD中,∵∠C=80°36′,
∴BC==
≈32,
答:引橋BC的長約為32m.
23.貴州省是我國首個大數據綜合試驗區,大數據在推動經濟發展、改善公共服務等方面日益顯示出巨大的價值,為創建大數據應用示范城市,我市某機構針對市民最關心的四類生活信息進行了民意調查(被調查者每人限選一項),下面是部分四類生活信息關注度統計圖表,請根據圖中提供的信息解答下列問題:
(1)本次參與調查的人數有 1000 人;
(2)關注城市醫療信息的有 150 人,并補全條形統計圖;
(3)扇形統計圖中,D部分的圓心角是 144 度;
(4)說一條你從統計圖中獲取的信息.
【考點】VC:條形統計圖;VB:扇形統計圖.
【分析】(1)由C類別人數占總人數的20%即可得出答案;
(2)根據各類別人數之和等于總人數可得B類別的人數;
(3)用360°乘以D類別人數占總人數的比例可得答案;
(4)根據條形圖或扇形圖得出合理信息即可.
【解答】解:(1)本次參與調查的人數有200÷20%=1000(人),
故答案為:1000;
(2)關注城市醫療信息的有1000﹣=150人,補全條形統計圖如下:
故答案為:150;
(3)扇形統計圖中,D部分的圓心角是360°×=144°,
故答案為:144;
(4)由條形統計圖可知,市民關注交通信息的人數最多.
24.如圖,PA、PB是⊙O的切線,A、B為切點,∠APB=60°,連接PO并延長與⊙O交于C點,連接AC,BC.
(1)求證:四邊形ACBP是菱形;
(2)若⊙O半徑為1,求菱形ACBP的面積.
【考點】MC:切線的性質;LA:菱形的判定與性質.
【分析】(1)連接AO,BO,根據PA、PB是⊙O的切線,得到∠OAP=∠OBP=90°,PA=PB,∠APO=∠BPO=∠APB=30°,由三角形的內角和得到∠AOP=60°,根據三角形外角的性質得到∠ACO=30°,得到AC=AP,同理BC=PB,于是得到結論;
(2)連接AB交PC于D,根據菱形的性質得到AD⊥PC,解直角三角形即可得到結論.
【解答】解:(1)連接AO,BO,
∵PA、PB是⊙O的切線,
∴∠OAP=∠OBP=90°,PA=PB,∠APO=∠BPO=∠APB=30°,
∴∠AOP=60°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠AOP=∠CAO+∠ACO,
∴∠ACO=30°,
∴∠ACO=∠APO,
∴AC=AP,
同理BC=PB,
∴AC=BC=BP=AP,
∴四邊形ACBP是菱形;
(2)連接AB交PC于D,
∴AD⊥PC,
∴OA=1,∠AOP=60°,
∴AD=OA=
,
∴PD=,
∴PC=3,AB=,
∴菱形ACBP的面積=AB?PC=
.
25.為厲行節能減排,倡導綠色出行,今年3月以來.“共享單車”(俗稱“小黃車”)公益活動登陸我市中心城區,某公司擬在甲、乙兩個街道社區投放一批“小黃車”,這批自行車包括A、B兩種不同款型,請回答下列問題:
問題1:單價
該公司早期在甲街區進行了試點投放,共投放A、B兩型自行車各50輛,投放成本共計7500元,其中B型車的成本單價比A型車高10元,A、B兩型自行車的單價各是多少?
問題2:投放方式
該公司決定采取如下投放方式:甲街區每1000人投放a輛“小黃車”,乙街區每1000人投放輛“小黃車”,按照這種投放方式,甲街區共投放1500輛,乙街區共投放1200輛,如果兩個街區共有15萬人,試求a的值.
【考點】B7:分式方程的應用;9A:二元一次方程組的應用.
【分析】問題1:設A型車的成本單價為x元,則B型車的成本單價為(x+10)元,根據成本共計7500元,列方程求解即可;
問題2:根據兩個街區共有15萬人,列出分式方程進行求解并檢驗即可.
【解答】解:問題1
設A型車的成本單價為x元,則B型車的成本單價為(x+10)元,依題意得
50x+50(x+10)=7500,
解得x=70,
∴x+10=80,
答:A、B兩型自行車的單價分別是70元和80元;
問題2
由題可得,×1000+
×1000=150000,
解得a=15,
經檢驗:a=15是所列方程的解,
故a的值為15.
26.邊長為2的正方形ABCD中,P是對角線AC上的一個動點(點P與A、C不重合),連接BP,將BP繞點B順時針旋轉90°到BQ,連接QP,QP與BC交于點E,QP延長線與AD(或AD延長線)交于點F.
(1)連接CQ,證明:CQ=AP;[來源:.Com]
(2)設AP=x,CE=y,試寫出y關于x的函數關系式,并求當x為何值時,CE=BC;
(3)猜想PF與EQ的數量關系,并證明你的結論.
【考點】LO:四邊形綜合題.
【分析】(1)證出∠ABP=∠CBQ,由SAS證明△BAP≌△BCQ可得結論;
(2)如圖1證明△APB∽△CEP,列比例式可得y與x的關系式,根據CE=BC計算CE的長,即y的長,代入關系式解方程可得x的值;
(3)如圖3,作輔助線,構建全等三角形,證明△PGB≌△QEB,得EQ=PG,由F、A、G、P四點共圓,
得∠FGP=∠FAP=45°,所以△FPG是等腰直角三角形,可得結論.[來源:學科網]
如圖4,當F在AD的延長線上時,同理可得結論.
【解答】(1)證明:如圖1,∵線段BP繞點B順時針旋轉90°得到線段BQ,
∴BP=BQ,∠PBQ=90°.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴BA=BC,∠ABC=90°.
∴∠ABC=∠PBQ.
∴∠ABC﹣∠PBC=∠PBQ﹣∠PBC,即∠ABP=∠CBQ.
在△BAP和△BCQ中,
∵,
∴△BAP≌△BCQ(SAS).
∴CQ=AP;
(2)解:如圖1,∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠BAD=45°,∠BCA=
∠BCD=45°,
∴∠APB+∠ABP=180°﹣45°=135°,
∵DC=AD=2,
由勾股定理得:AC==4,
∵AP=x,
∴PC=4﹣x,
∵△PBQ是等腰直角三角形,
∴∠BPQ=45°,
∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°,
∴∠CPQ=∠ABP,
∵∠BAC=∠ACB=45°,
∴△APB∽△CEP,
∴,
∴,
∴y=x(4﹣x)=﹣
x(0<x<4),
由CE=BC=
=
,
∴y=﹣x=
,
x2﹣4x=3=0,
(x﹣3)(x﹣1)=0,
x=3或1,
∴當x=3或1時,CE=BC;
(3)解:結論:PF=EQ,理由是:
如圖3,當F在邊AD上時,過P作PG⊥FQ,交AB于G,則∠GPF=90°,
∵∠BPQ=45°,
∴∠GPB=45°,
∴∠GPB=∠PQB=45°,
∵PB=BQ,∠ABP=∠CBQ,
∴△PGB≌△QEB,
∴EQ=PG,
∵∠BAD=90°,
∴F、A、G、P四點共圓,
連接FG,
∴∠FGP=∠FAP=45°,
∴△FPG是等腰直角三角形,
∴PF=PG,
∴PF=EQ.
當F在AD的延長線上時,如圖4,同理可得:PF=PG=EQ.
27.如圖,拋物線y=ax2+bx﹣a﹣b(a<0,a、b為常數)與x軸交于A、C兩點,與y軸交于B點,直線AB的函數關系式為y=x+
.
(1)求該拋物線的函數關系式與C點坐標;
(2)已知點M(m,0)是線段OA上的一個動點,過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點,當m為何值時,△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形?
(3)在(2)問條件下,當△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時,動點M相應位置記為點M′,將OM′繞原點O順時針旋轉得到ON(旋轉角在0°到90°之間);
i:探究:線段OB上是否存在定點P(P不與O、B重合),無論ON如何旋轉,始終保持不變,若存在,試求出P點坐標;若不存在,請說明理由;
ii:試求出此旋轉過程中,(NA+NB)的最小值.
【考點】HF:二次函數綜合題.
【分析】(1)根據已知條件得到B(0,),A(﹣6,0),解方程組得到拋物線的函數關系式為:y=﹣
x2﹣
x+
,于是得到C(1,0);
(2)由點M(m,0),過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點,得到D(m, m+
),當DE為底時,作BG⊥DE于G,根據等腰三角形的性質得到EG=GD=
ED,GM=OB=
,列方程即可得到結論;
(3)i:根據已知條件得到ON=OM′=4,OB=,由∠NOP=∠BON,特殊的當△NOP∽△BON時,根據相似三角形的性質得到
=
,于是得到結論;
ii:根據題意得到N在以O為圓心,4為半徑的半圓上,由(i)知, =
,得到NP=
NB,于是得到(NA+
NB)的最小值=NA+NP,此時N,A,P三點共線,根據勾股定理得到結論.
【解答】解:(1)在y=x+
中,令x=0,則y=
,令y=0,則x=﹣6,
∴B(0,),A(﹣6,0),
把B(0,),A(﹣6,0)代入y=ax2+bx﹣a﹣b得
,
∴,
∴拋物線的函數關系式為:y=﹣x2﹣
x+
,
令y=0,則=﹣x2﹣
x+
=0,
∴x1=﹣6,x2=1,
∴C(1,0);
(2)∵點M(m,0),過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點,
∴D(m, m+
),當DE為底時,
作BG⊥DE于G,則EG=GD=ED,GM=OB=
,
∴m+
(﹣
m2﹣
m+
+
m+
)=
,
解得:m1=﹣4,m2=9(不合題意,舍去),[來源:Z§xx§k.Com]
∴當m=﹣4時,△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形;
(3)i:存在,
∵ON=OM′=4,OB=,
∵∠NOP=∠BON,
∴當△NOP∽△BON時, =
,
∴不變,
即OP==3,
∴P(0,3)
ii:∵N在以O為圓心,4為半徑的半圓上,由(i)知, =
,
∴NP=NB,
∴(NA+NB)的最小值=NA+NP,
∴此時N,A,P三點共線,
∴(NA+NB)的最小值=
=3
.
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