2016丹東市東港中考數學一模試卷【解析版含答案】

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2016丹東市東港中考數學一模試卷

一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個是正確的.每小題3分，共24分）

1．﹣2015的絕對值是（　　）

A．﹣2015????????????? B．2015????????????? C．????????????? D．﹣

2．據統計，2015年在“情系桃源，好運丹東”的鴨綠江桃花觀賞活動中，6天內參與人次達27.8萬．用科學記數法將27.8萬表示為（　　）

A．2.78×106????????????? B．27.8×106????????????? C．2.78×105????????????? D．27.8×105

3．（2016丹東數學）如圖，是某幾何體的俯視圖，該幾何體可能是（　　）

A．圓柱????????????? B．圓錐????????????? C．球????????????? D．正方體

4．如果一組數據2，4，x，3，5的眾數是4，那么該組數據的平均數是（　　）

A．5.2????????????? B．4.6????????????? C．4????????????? D．3.6

5．下列計算正確的是（　　）

A．2a+a=3a2????????????? B．4﹣2=﹣????????????? C． =±3????????????? D．（a3）2=a6

6．（2016丹東數學）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D的度數為（　　）

A．15°????????????? B．17.5°????????????? C．20°????????????? D．22.5°

7．過矩形ABCD的對角線AC的中點O作EF⊥AC，交BC邊于點E，交AD邊于點F，分別連接AE、CF．若AB=，∠DCF=30°，則EF的長為（　　）

A．2????????????? B．3????????????? C．????????????? D．

9．一次函數y=﹣x+a﹣3（a為常數）與反比例函數y=﹣的圖象交于A、B兩點，當A、B兩點關于原點對稱時a的值是（　　）

A．0????????????? B．﹣3????????????? C．3????????????? D．4

二、填空題

10．（2016丹東數學）如圖，正六邊形卡片被分成六個全等的正三角形．若向該六邊形內投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區域的概率為　　　　　　．

11．如圖，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，則∠3=　　　　　　°．

12．分解因式：3x2﹣12x+12=　　　　　　．

13．若a＜＜b，且a、b是兩個連續的整數，則ab=　　　　　　．

14．（2016丹東數學）不等式組的解集為　　　　　　．

15．在菱形ABCD中，對角線AC，BD的長分別是6和8，則菱形的周長是　　　　　　．

16．若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一個根，那么a=　　　　　　．

17．如圖，直線OD與x軸所夾的銳角為30°，OA1的長為1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△AnAn+1Bn均為等邊三角形，點A1、A2、A3…An+1在x軸的正半軸上依次排列，點B1、B2、B3…Bn在直線OD上依次排列，那么點Bn的坐標為　　　　　　．

三、（2016丹東數學）解答題

18．先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a=3．

19．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，4），B（4，2），C（3，5）

20．某中學數學興趣小組為了解本校學生對電視節目的喜愛情況，隨機調查了部分學生最喜愛哪一類節目 （被調查的學生只選一類并且沒有不選擇的），并將調查結果制成了如下的兩個統計圖（不完整）．請你根據圖中所提供的信息，完成下列問題：

（1）求本次調查的學生人數；

（2）請將兩個統計圖補充完整，并求出新聞節目在扇形統計圖中所占圓心角的度數；

（3）若該中學有2000名學生，請估計該校喜愛電視劇節目的人數．

21．（2016丹東數學）從甲市到乙市乘坐高速列車的路程為180千米，乘坐普通列車的路程為240千米．高速列車的平均速度是普通列車的平均速度的3倍．高速列車的乘車時間比普通列車的乘車時間縮短了2小時．高速列車的平均速度是每小時多少千米？

五、

22．一個不透明的口袋中裝有4個分別標有數字﹣1，﹣2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同．小紅先從口袋中隨機摸出一個小球記下數字為x；小穎在剩下的3個小球中隨機摸出一個小球記下數字為y．

（1）小紅摸出標有數字3的小球的概率是　　　　　　；

（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法表示出由x，y確定的點P（x，y）所有可能的結果；

（3）若規定：點P（x，y）在第一象限或第三象限小紅獲勝；點P（x，y）在第二象限或第四象限則小穎獲勝．請分別求出兩人獲勝的概率．

23．（2016丹東數學）如圖，AB是⊙O的直徑， =，連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點C．

（1）若OA=CD=2，求陰影部分的面積；

（2）求證：DE=DM．

六、

24．（2016丹東數學）如圖，線段AB，CD表示甲、乙兩幢居民樓的高，兩樓間的距離BD是60米．某人站在A處測得C點的俯角為37°，D點的俯角為48°（人的身高忽略不計），求乙樓的高度CD．（參考數據：sin37°≈，tan37°≈，sin48°≈，tan48°≈）

25．某商店購進一種商品，每件商品進價30元．試銷中發現這種商品每天的銷售量y（件）與每件銷售價x（元）的關系數據如下：

（1）已知y與x滿足一次函數關系，根據上表，求出y與x之間的關系式（不寫出自變量x的取值范圍）；

（2）如果商店銷售這種商品，每天要獲得150元利潤，那么每件商品的銷售價應定為多少元？

（3）設該商店每天銷售這種商品所獲利潤為w（元），求出w與x之間的關系式，并求出每件商品銷售價定為多少元時利潤最大？

七、（2016丹東數學）（本題12分）

26．在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．

（1）如圖1，若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數量關系；

（2）將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉角度α（0°＜α＜45°）．

①如圖2，在旋轉過程中（1）中的結論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

②如圖2，在旋轉過程中，當∠DOM=15°時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；

③如圖3，旋轉后，若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數量關系，并給出證明；當BD=m?BP時，請直接寫出PE與PF的數量關系．

八、（2016丹東數學）（本題14分）

27．如圖，已知二次函數y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），連接AB、AC．

（1）請直接寫出二次函數y=ax2+x+c的表達式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標；

（4）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的坐標．

2016丹東數學參考答案與試題解析

一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個是正確的.每小題3分，共24分）

1．﹣2015的絕對值是（　　）

A．﹣2015????????????? B．2015????????????? C．????????????? D．﹣

【考點】絕對值．

【分析】根據相反數的意義，求解即可．注意正數的絕對值是本身，0的絕對值為0，負數的絕對值是其相反數．

【解答】解：∵﹣2015的絕對值等于其相反數，

∴﹣2015的絕對值是2015；

故答案為：2015．

【點評】此題考查了絕對值的知識，掌握絕對值的意義是本題的關鍵，解題時要細心．

2．（2016丹東數學）據統計，2015年在“情系桃源，好運丹東”的鴨綠江桃花觀賞活動中，6天內參與人次達27.8萬．用科學記數法將27.8萬表示為（　　）

A．2.78×106????????????? B．27.8×106????????????? C．2.78×105????????????? D．27.8×105

【考點】科學記數法—表示較大的數．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：將27.8萬用科學記數法表示為2.78×105．

故選：C．

【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．

3．（2016丹東數學）如圖，是某幾何體的俯視圖，該幾何體可能是（　　）

A．圓柱????????????? B．圓錐????????????? C．球????????????? D．正方體

【考點】由三視圖判斷幾何體．

【分析】根據幾何體的俯視圖是從上面看，所得到的圖形分別寫出各個幾何體的俯視圖判斷即可．

【解答】解：圓柱的俯視圖是圓，A錯誤；

圓錐的俯視圖是圓，且中心由一個實點，B正確；

球的俯視圖是圓，C錯誤；

正方體的俯視圖是正方形，D錯誤．

故選：B．

【點評】本題考查了三視圖的概念，掌握主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形是解題的關鍵．

4．如果一組數據2，4，x，3，5的眾數是4，那么該組數據的平均數是（　　）

A．5.2????????????? B．4.6????????????? C．4????????????? D．3.6

【考點】算術平均數；眾數．

【分析】根據這組數據的眾數是4，求出x的值，根據平均數的公式求出平均數．

【解答】解：∵這組數據的眾數是4，

∴x=4，

=（2+4+4+3+5）=3.6．

故選：D．

【點評】本題考查的是平均數的計算公式和眾數的概念，掌握平均數的計算公式和眾數的確定方法是解題的關鍵．

5．（2016丹東數學）下列計算正確的是（　　）

A．2a+a=3a2????????????? B．4﹣2=﹣????????????? C． =±3????????????? D．（a3）2=a6

【考點】冪的乘方與積的乘方；算術平方根；合并同類項；負整數指數冪．

【分析】A、依據合并同類項法則計算即可；B、根據負整數指數冪的法則計算即可；C、根據算術平方根的定義可做出判斷；D、依據冪的乘方的運算法則進行計算即可．

【解答】解：A、2a+a=3a，故A錯誤；

B、4﹣2==，故B錯誤；

C、，故C錯誤；

D、（a3）2=a3×2=a6，故D正確．

故選：D．

【點評】本題主要考查的是數與式的計算，掌握合并同類項、負整數指數冪、算術平方根以及冪的乘方的運算法則是解題的關鍵．

6（2016丹東數學）．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D的度數為（　　）

A．15°????????????? B．17.5°????????????? C．20°????????????? D．22.5°

【考點】等腰三角形的性質．

【分析】先根據角平分線的定義得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根據三角形外角性質得∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∠1=∠3+∠D，則2∠1=2∠3+∠A，利用等式的性質得到∠D=∠A，然后把∠A的度數代入計算即可．

【解答】解：∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點D，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠ACE=∠A+∠ABC，

即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，

∴2∠1=2∠3+∠A，

∵∠1=∠3+∠D，

∴∠D=∠A=×30°=15°．

故選A．

【點評】（2016丹東數學）本題考查了三角形內角和定理，關鍵是根據三角形內角和是180°和三角形外角性質進行分析．

7．過矩形ABCD的對角線AC的中點O作EF⊥AC，交BC邊于點E，交AD邊于點F，分別連接AE、CF．若AB=，∠DCF=30°，則EF的長為（　　）

A．2????????????? B．3????????????? C．????????????? D．

【考點】菱形的判定與性質；矩形的性質．

【分析】求出∠ACB=∠DAC，然后利用“角角邊”證明△AOF和△COE全等，根據全等三角形對應邊相等可得OE=OF，再根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形得到四邊形AECF是菱形，再求出∠ECF=60°，然后判斷出△CEF是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得EF=CF，根據矩形的對邊相等可得CD=AB，然后求出CF，從而得解．

【解答】（2016丹東數學）解：∵矩形對邊AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC，

∵O是AC的中點，

∴AO=CO，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE=OF，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形，

∵∠DCF=30°，

∴∠ECF=90°﹣30°=60°，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EF=CF，

∵AB=，

∴CD=AB=，

∵∠DCF=30°，

∴CF=÷=2，

∴EF=2．

故選A．

【點評】本題考查了菱形的判定與性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，難點在于判斷出△CEF是等邊三角形．

9．（2016丹東數學）一次函數y=﹣x+a﹣3（a為常數）與反比例函數y=﹣的圖象交于A、B兩點，當A、B兩點關于原點對稱時a的值是（　　）

A．0????????????? B．﹣3????????????? C．3????????????? D．4

【考點】反比例函數與一次函數的交點問題；關于原點對稱的點的坐標．

【專題】計算題；壓軸題．

【分析】設A（t，﹣），根據關于原點對稱的點的坐標特征得B（﹣t，），然后把A（t，﹣），B（﹣t，）分別代入y=﹣x+a﹣3得﹣=﹣t+a﹣3， =t+a﹣3，兩式相加消去t得2a﹣6=0，再解關于a的一次方程即可．

【解答】解：設A（t，﹣），

∵A、B兩點關于原點對稱，

∴B（﹣t，），

把A（t，﹣），B（﹣t，）分別代入y=﹣x+a﹣3得﹣=﹣t+a﹣3， =t+a﹣3，

兩式相加得2a﹣6=0，

∴a=3．

故選C．

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．

二、（2016丹東數學）填空題

10．如圖，正六邊形卡片被分成六個全等的正三角形．若向該六邊形內投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區域的概率為　　．

【考點】幾何概率．

【分析】確定陰影部分的面積在整個轉盤中占的比例，根據這個比例即可求出飛鏢落在陰影區域的概率．

【解答】解：如圖：轉動轉盤被均勻分成6部分，陰影部分占2份，飛鏢落在陰影區域的概率是；

故答案為：．

【點評】本題考查了幾何概率．用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比．

11．（2016丹東數學）如圖，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，則∠3=　110　°．

【考點】平行線的判定與性質．

【分析】根據對頂角相等得出∠2=∠MEN，利用同位角相等，兩直線平行得出AB∥CD，再利用平行線的性質解答即可．

【解答】解：∵∠2=∠MEN，∠1=∠2=40°，

∴∠1=∠MEN，

∴AB∥CD，

∴∠3+∠BMN=180°，

∵MN平分∠EMB，

∴∠BMN=，

∴∠3=180°﹣70°=110°．

故答案為：110．

【點評】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，是基礎題，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．

12．（2016丹東數學）分解因式：3x2﹣12x+12=　3（x﹣2）2　．

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．

【專題】計算題．

【分析】原式提取3后，利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式=3（x2﹣4x+4）=3（x﹣2）2，

故答案為：3（x﹣2）2

【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．

13．若a＜＜b，且a、b是兩個連續的整數，則ab=　8　．

【考點】估算無理數的大小．

【分析】先估算出的范圍，即可得出a、b的值，代入求出即可．

【解答】解：∵2＜＜3，

∴a=2，b=3，

∴ab=8．

故答案為：8．

【點評】（2016丹東數學）本題考查了估算無理數的大小的應用，解此題的關鍵是求出的范圍．

14．不等式組的解集為　﹣1＜x＜1　．

【考點】解一元一次不等式組．

【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解．

【解答】解：，

由①得，x＞﹣1，

由②得，x＜1．

所以，不等式組的解集為﹣1＜x＜1．

故答案為﹣1＜x＜1．

【點評】本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）．

15．（2016丹東數學）在菱形ABCD中，對角線AC，BD的長分別是6和8，則菱形的周長是　20　．

【考點】菱形的性質．

【專題】計算題．

【分析】AC與BD相交于點O，如圖，根據菱形的性質得AC⊥BD，OD=OB=BD=4，OA=OC=AC=3，AB=BC=CD=AD，則可在Rt△AOD中，根據勾股定理計算出AD=5，于是可得菱形ABCD的周長為20．

【解答】解：AC與BD相交于點O，如圖，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD，OD=OB=BD=4，OA=OC=AC=3，AB=BC=CD=AD，

在Rt△AOD中，∵OA=3，OB=4，

∴AD==5，

∴菱形ABCD的周長=4×5=20．

故答案為20．

【點評】本題考查了菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．

16．（2016丹東數學）若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一個根，那么a=　﹣3　．

【考點】一元二次方程的解．

【分析】根據方程的根的定義將x=1代入方程得到關于a的方程，然后解得a的值即可．

【解答】解：將x=1代入得：1+2+a=0，

解得：a=﹣3．

故答案為：﹣3．

【點評】本題主要考查的是方程的解（根）的定義和一元一次方程的解法，將方程的解代入方程是解題的關鍵．

17．如圖，直線OD與x軸所夾的銳角為30°，OA1的長為1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△AnAn+1Bn均為等邊三角形，點A1、A2、A3…An+1在x軸的正半軸上依次排列，點B1、B2、B3…Bn在直線OD上依次排列，那么點Bn的坐標為　（3×2n﹣2，×2n﹣2）　．

【考點】（2016丹東數學）一次函數圖象上點的坐標特征；等邊三角形的性質．

【專題】壓軸題；規律型．

【分析】根據等邊三角形的性質和∠B1OA2=30°，可求得∠B1OA2=∠A1B1O=30°，可求得OA2=2OA1=2，同理可求得OAn=2n﹣1，再結合含30°角的直角三角形的性質可求得△AnBnAn+1的邊長，進一步可求得點Bn的坐標．

【解答】解：∵△A1B1A2為等邊三角形，

∴∠B1A1A2=60°，

∵∠B1OA2=30°，

∴∠B1OA2=∠A1B1O=30°，可求得OA2=2OA1=2，

同理可求得OAn=2n﹣1，

∵∠BnOAn+1=30°，∠BnAnAn+1=60°，

∴∠BnOAn+1=∠OBnAn=30°

∴BnAn=OAn=2n﹣1，

即△AnBnAn+1的邊長為2n﹣1，則可求得其高為×2n﹣1=×2n﹣2，

∴點Bn的橫坐標為×2n﹣1+2n﹣1=×2n﹣1=3×2n﹣2，

∴點Bn的坐標為（3×2n﹣2，×2n﹣2）．

故答案為（3×2n﹣2，×2n﹣2）．

【點評】（2016丹東數學）本題主要考查等邊三角形的性質和含30°角的直角三角形的性質，根據條件找到等邊三角形的邊長和OA1的關系是解題的關鍵．

三、解答題

18．先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a=3．

【考點】分式的化簡求值．

【分析】先計算括號里面的，再把分子、分母因式分解，約分即可，把a=3代入計算即可．

【解答】解：原式=×

=，

當a=3時，原式==．

【點評】本題考查了分式的化簡求值，解答此題的關鍵是把分式化到最簡，然后代值計算．

19．（2016丹東數學）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，4），B（4，2），C（3，5）

20．某中學數學興趣小組為了解本校學生對電視節目的喜愛情況，隨機調查了部分學生最喜愛哪一類節目 （被調查的學生只選一類并且沒有不選擇的），并將調查結果制成了如下的兩個統計圖（不完整）．請你根據圖中所提供的信息，完成下列問題：

（1）求本次調查的學生人數；

（2）請將兩個統計圖補充完整，并求出新聞節目在扇形統計圖中所占圓心角的度數；

（3）若該中學有2000名學生，請估計該校喜愛電視劇節目的人數．

【考點】條形統計圖；用樣本估計總體；扇形統計圖．

【分析】（1）根據喜愛電視劇的人數是69人，占總人數的23%，即可求得總人數；

（2）根據總人數和喜歡娛樂節目的百分數可求的其人數，補全即可；利用360°乘以對應的百分比即可求得圓心角的度數；

（3）利用總人數乘以對應的百分比即可求解．

【解答】（2016丹東數學）解：（1）69÷23%=300（人）

∴本次共調查300人；

（2）∵喜歡娛樂節目的人數占總人數的20%，

∴20%×300=60（人），補全如圖；

∵360°×12%=43.2°，

∴新聞節目在扇形統計圖中所占圓心角的度數為43.2°；

（3）2000×23%=460（人），

∴估計該校有460人喜愛電視劇節目．

【點評】（2016丹東數學）本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小．

21．從甲市到乙市乘坐高速列車的路程為180千米，乘坐普通列車的路程為240千米．高速列車的平均速度是普通列車的平均速度的3倍．高速列車的乘車時間比普通列車的乘車時間縮短了2小時．高速列車的平均速度是每小時多少千米？

【考點】分式方程的應用．

【分析】設普通列車平均速度每小時x千米，則高速列車平均速度每小時3x千米，根據題意可得，坐高鐵走180千米比坐普通車240千米少用2小時，據此列方程求解．

【解答】解：設普通列車平均速度每小時x千米，則高速列車平均速度每小時3x千米，

根據題意得，﹣=2，

解得：x=90，

經檢驗，x=90是所列方程的根，

則3x=3×90=270．

答：高速列車平均速度為每小時270千米．

【點評】本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程求解，注意檢驗．

五、

22．（2016丹東數學）一個不透明的口袋中裝有4個分別標有數字﹣1，﹣2，3，4的小球，它們的形狀、大小完全相同．小紅先從口袋中隨機摸出一個小球記下數字為x；小穎在剩下的3個小球中隨機摸出一個小球記下數字為y．

（1）小紅摸出標有數字3的小球的概率是　　；

（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法表示出由x，y確定的點P（x，y）所有可能的結果；

（3）若規定：點P（x，y）在第一象限或第三象限小紅獲勝；點P（x，y）在第二象限或第四象限則小穎獲勝．請分別求出兩人獲勝的概率．

【考點】列表法與樹狀圖法．

【專題】計算題．

【分析】（1）直接根據概率公式求解；

（2）通過列表展示所有12種等可能性的結果數；

（3）找出在第一象限或第三象限的結果數和第二象限或第四象限的結果數，然后根據概率公式計算兩人獲勝的概率．

【解答】解：（1）小紅摸出標有數字3的小球的概率是；

故答案為；

（2）（2016丹東數學）列表如下：

（3）從上面的表格可以看出，所有可能出現的結果共有12種，且每種結果出現的可能性相同，其中點（x，y）在第一象限或第三象限的結果有4種，第二象限或第四象限的結果有8種，

所以小紅獲勝的概率==，小穎獲勝的概率==．

【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后根據概率公式求出事件A或B的概率．

23．如圖，AB是⊙O的直徑， =，連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點C．

（1）若OA=CD=2，求陰影部分的面積；

（2）求證：DE=DM．

【考點】（2016丹東數學）切線的性質；扇形面積的計算．

【專題】證明題．

【分析】（1）連接OD，根據已知和切線的性質證明△OCD為等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根據S陰影=S△OCD﹣S扇OBD計算即可；

（2）連接AD，根據弦、弧之間的關系證明DB=DE，證明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．

【解答】（1）解：如圖，連接OD，

∵CD是⊙O切線，

∴OD⊥CD，

∵OA=CD=2，OA=OD，

∴OD=CD=2，

∴△OCD為等腰直角三角形，

∴∠DOC=∠C=45°，

∴S陰影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；

（2）證明：如圖，連接AD，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠ADB=∠ADM=90°，

又∵=，

∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，

在△AMD和△ABD中，

，

∴△AMD≌△ABD，

∴DM=BD，

∴DE=DM．

【點評】（2016丹東數學）本題考查的是切線的性質、弦、弧之間的關系、扇形面積的計算，掌握切線的性質定理和扇形的面積公式是解題的關鍵，注意輔助線的作法．

六、

24．如圖，線段AB，CD表示甲、乙兩幢居民樓的高，兩樓間的距離BD是60米．某人站在A處測得C點的俯角為37°，D點的俯角為48°（人的身高忽略不計），求乙樓的高度CD．（參考數據：sin37°≈，tan37°≈，sin48°≈，tan48°≈）

【考點】（2016丹東數學）解直角三角形的應用-仰角俯角問題．

【分析】過點C作CE⊥AB交AB于點E，在直角△ADB中利用三角函數求得AB的長，然后在直角△AEC中求得AE的長，即可求解．

【解答】解：過點C作CE⊥AB交AB于點E，

則四邊形EBDC為矩形，

∴BE=CD? CE=BD=60，

如圖，根據題意可得，

∠ADB=48°，∠ACE=37°，

∵，

在Rt△ADB中，

則AB=tan48°?BD≈（米），

∵，

在Rt△ACE中，

則AE=tan37°?CE≈（米），

∴CD=BE=AB﹣AE=66﹣45=21（米），

∴乙樓的高度CD為21米．

【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，本題要求學生借助俯角構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形．

25．某商店購進一種商品，每件商品進價30元．試銷中發現這種商品每天的銷售量y（件）與每件銷售價x（元）的關系數據如下：

（1）已知y與x滿足一次函數關系，根據上表，求出y與x之間的關系式（不寫出自變量x的取值范圍）；

（2）如果商店銷售這種商品，每天要獲得150元利潤，那么每件商品的銷售價應定為多少元？

（3）設該商店每天銷售這種商品所獲利潤為w（元），求出w與x之間的關系式，并求出每件商品銷售價定為多少元時利潤最大？

【考點】（2016丹東數學）二次函數的應用．

【分析】（1）根據待定系數法解出解析式即可；

（2）根據題意列出方程解答即可；

（3）根據題意列出函數解析式，利用函數解析式的最值解答即可．

【解答】解：（1）設該函數的表達式為y=kx+b，根據題意，得

，

解得：．

故該函數的表達式為y=﹣2x+100；

（2）根據題意得，

（﹣2x+100）（x﹣30）=150，

解這個方程得，x1=35，x2=45，

故每件商品的銷售價定為35元或45元時日利潤為150元；

（3）根據題意，得

w=（﹣2x+100）（x﹣30）

=﹣2x2+160x﹣3000

=﹣2（x﹣40）2+200，

∵a=﹣2＜0 則拋物線開口向下，函數有最大值，

即當x=40時，w的值最大，

∴當銷售單價為40元時獲得利潤最大．

【點評】（2016丹東數學）此題考查二次函數的應用，關鍵是根據題意列出方程和函數解析式，利用函數解析式的最值分析．

七、（本題12分）

26．在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．

（1）如圖1，若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數量關系；

（2）將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉角度α（0°＜α＜45°）．

①如圖2，在旋轉過程中（1）中的結論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

②如圖2，在旋轉過程中，當∠DOM=15°時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；

③如圖3，旋轉后，若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數量關系，并給出證明；當BD=m?BP時，請直接寫出PE與PF的數量關系．

【考點】（2016丹東數學）四邊形綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）根據正方形的性質和角平分線的性質解答即可；

（2）①根據正方形的性質和旋轉的性質證明△FOA≌△EOD，得到答案；

②作OG⊥AB于G，根據余弦的概念求出OF的長，根據勾股定理求值即可；

③過點P作HP⊥BD交AB于點H，根據相似三角形的判定和性質求出PE與PF的數量關系，根據解答結果總結規律得到當BD=m?BP時，PE與PF的數量關系．

【解答】（2016丹東數學）解：（1）PE=PF，理由：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠BAC=∠DAC，又PM⊥AD、PN⊥AB，

∴PE=PF；

（2）①成立，理由：

∵AC、BD是正方形ABCD的對角線，

∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45°，∠AOD=90°，

∴∠DOE+∠AOE=90°，

∵∠MPN=90°，

∴∠FOA+∠AOE=90°，

∴∠FOA=∠DOE，

在△FOA和△EOD中，

，

∴△FOA≌△EOD，

∴OE=OF，即PE=PF；

②作OG⊥AB于G，

∵∠DOM=15°，

∴∠AOF=15°，則∠FOG=30°，

∵cos∠FOG=，

∴OF==，又OE=OF，

∴EF=；

③PE=2PF，

證明：如圖3，過點P作HP⊥BD交AB于點H，

則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90°，

∴HP=BP，

∵BD=3BP，

∴PD=2BP，

∴PD=2 HP，

又∵∠HPF+∠HPE=90°，∠DPE+∠HPE=90°，

∴∠HPF=∠DPE，

又∵∠BHP=∠EDP=45°，

∴△PHF∽△PDE，

∴==，

即PE=2PF，

由此規律可知，當BD=m?BP時，PE=（m﹣1）?PF．

【點評】（2016丹東數學）本題考查的是正方形的性質和旋轉變換，掌握旋轉變換的性質、找準對應關系正確運用三角形全等和相似的判定和性質定理是解題的關鍵，正確作出輔助線是解答本題的重點．

八、（本題14分）

27．如圖，已知二次函數y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），連接AB、AC．

（1）請直接寫出二次函數y=ax2+x+c的表達式；

（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出此時點N的坐標；

（4）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的坐標．

【考點】二次函數綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（2016丹東數學）（1）根據待定系數法即可求得；

（2）根據拋物線的解析式求得B的坐標，然后根據勾股定理分別求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根據勾股定理的逆定理即可證得△ABC是直角三角形．

（3）分別以A、C兩點為圓心，AC長為半徑畫弧，與x軸交于三個點，由AC的垂直平分線與x軸交于一個點，即可求得點N的坐標；

（4）設點N的坐標為（n，0），則BN=n+2，過M點作MD⊥x軸于點D，根據三角形相似對應邊成比例求得MD=（n+2），然后根據S△AMN=S△ABN﹣S△BMN

得出關于n的二次函數，根據函數解析式求得即可．

【解答】（2016丹東數學）解：（1）∵二次函數y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），

∴，

解得．

∴拋物線表達式：y=﹣x2+x+4；

（2）△ABC是直角三角形．

令y=0，則﹣x2+x+4=0，

解得x1=8，x2=﹣2，

∴點B的坐標為（﹣2，0），

由已知可得，

在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，

在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，

又∵BC=OB+OC=2+8=10，

∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2

∴△ABC是直角三角形．

（3）∵A（0，4），C（8，0），

∴AC==4，

①以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（﹣8，0），

②以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（8﹣4，0）或（8+4，0）

③作AC的垂直平分線，交x軸于N，此時N的坐標為（3，0），

綜上，若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，點N的坐標分別為（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．

（4）設點N的坐標為（n，0），則BN=n+2，過M點作MD⊥x軸于點D，

∴MD∥OA，

∴△BMD∽△BAO，

∴=，

∵MN∥AC

∴=，

∴=，

∵OA=4，BC=10，BN=n+2

∴MD=（n+2），

∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN

=BN?OA﹣BN?MD

=（n+2）×4﹣×（n+2）2

=﹣（n﹣3）2+5，

∴當△AMN面積最大時，N點坐標為（3，0）．

【點評】（2016丹東數學）本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求解析式，勾股定理和逆定理，等腰三角形的性質，三角形相似的判定和性質以及函數的最值等，熟練掌握性質定理是解題的關鍵．