2017年岳陽中考數學試題word版（含解析）

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2017年岳陽中考數學試題

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1．6的相反數是（　　）

A．﹣6????????????? B．????????????? C．6????????????? D．±6

【分析】根據相反數的定義求解即可．

【解答】解：6的相反數是﹣6，

故選A．

【點評】主要考查相反數的定義：只有符號相反的兩個數互為相反數．

2．下列運算正確的是（　　）

A．5=﹣x5????????????? C．x3x2=x6????????????? D．3x2+2x3=5x5

【分析】根據冪的乘方，同底數冪的乘法以及合并同類項計算法則進行解答．

【解答】解：A、原式=x6，故本選項錯誤；

B、原式=﹣x5，故本選項正確；

C、原式=x5，故本選項錯誤；

D、3x2與2x3不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；

故選：B．

【點評】本題考查合并同類項、同底數冪的乘法、冪的乘方，熟練掌握運算性質和法則是解題的關鍵．

3．據國土資源部數據顯示，我國是全球“可燃冰”資源儲量最多的國家之一，海、陸總儲量約為39000000000噸油當量，將39000000000用科學記數法表示為（　　）

A．3.9×1010????????????? B．3.9×109????????????? C．0.39×1011????????????? D．39×109

【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數，據此判斷即可．

【解答】解：39000000000=3.9×1010．

故選：A．

【點評】此題主要考查了用科學記數法表示較大的數，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關鍵．

4．下列四個立體圖形中，主視圖、左視圖、俯視圖都相同的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【分析】分別分析圓錐、圓柱、球體、三棱柱的主視圖、左視圖、俯視圖，從而得出結論．

【解答】解：∵球的主視圖、左視圖、俯視圖都是圓，

∴主視圖、左視圖、俯視圖都相同的是B，

故選B．

【點評】本題考查三視圖，熟練掌握常見幾何體的三視圖，是解決問題的關鍵．

5．從，0，π，3.14，6這5個數中隨機抽取一個數，抽到有理數的概率是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【分析】根據有理數的定義可找出在，0，π，3.14，6這5個數中只有0、3.14和6為有理數，再根據概率公式即可求出抽到有理數的概率．

【解答】解：∵在，0，π，3.14，6這5個數中只有0、3.14和6為有理數，

∴從，0，π，3.14，6這5個數中隨機抽取一個數，抽到有理數的概率是．

故選C．

【點評】本題考查了概率公式以及有理數，根據有理數的定義找出五個數中的有理數的個數是解題的關鍵．

6．解分式方程﹣=1，可知方程的解為（　　）

A．x=1????????????? B．x=3????????????? C．x=????????????? D．無解

【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，進而解方程得出答案．

【解答】解：去分母得：

2﹣2x=x﹣1，

解得：x=1，

檢驗：當x=1時，x﹣1=0，故此方程無解．

故選：D．

【點評】此題主要考查了解分式方程，正確掌握解題步驟是解題關鍵．

7．觀察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，根據這個規律，則21+22+23+24+…+22017的末位數字是（　　）

A．0????????????? B．2????????????? C．4????????????? D．6

【分析】根據題目中的式子可以知道，末尾數字出現的2、4、8、6的順序出現，從而可以求得21+22+23+24+…+22017的末位數字．本題得以解決．

【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，

∴2017÷4=506…1，

∵（2+4+8+6）×506+2=10122，

∴21+22+23+24+…+22017的末位數字是2，

故選B．

【點評】本題考查尾數特征，解答本題的關鍵是發現題目中的尾數的變化規律，求出相應的式子的末位數字．

8．已知點A在函數y1=﹣（x＞0）的圖象上，點B在直線y2=kx+1+k（k為常數，且k≥0）上．若A，B兩點關于原點對稱，則稱點A，B為函數y1，y2圖象上的一對“友好點”．請問這兩個函數圖象上的“友好點”對數的情況為（　　）

A．有1對或2對????????????? B．只有1對????????????? C．只有2對????????????? D．有2對或3對

【分析】根據“友好點”的定義知，函數y1圖象上點A（a，﹣）關于原點的對稱點B（a，﹣）一定位于直線y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，據此可得答案．

【解答】解：設A（a，﹣），

由題意知，點A關于原點的對稱點B（（a，﹣），）在直線y2=kx+1+k上，

則=﹣ak+1+k，

整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，

即（a﹣1）（ka﹣1）=0，

∴a﹣1=0或ka﹣1=0，

則a=1或ka﹣1=0，

若k=0，則a=1，此時方程①只有1個實數根，即兩個函數圖象上的“友好點”只有1對；

若k≠0，則a=，此時方程①有2個實數根，即兩個函數圖象上的“友好點”有2對，

綜上，這兩個函數圖象上的“友好點”對數情況為1對或2對，

故選：A．

【點評】本題主要考查直線和雙曲線上點的坐標特征及關于原點對稱的點的坐標，將“友好點”的定義，根據關于原點對稱的點的坐標特征轉化為方程的問題求解是解題的關鍵．

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

9．函數y=中自變量x的取值范圍是　x≠7　．

【分析】根據分母不為零，即可解決問題．

【解答】解：函數y=中自變量x的范圍是x≠7．

故答案為x≠7

【點評】本題考查函數自變量的取值范圍，知道分母不能為零是解題的關鍵．

10．因式分解：x2﹣6x+9=　（x﹣3）2　．

【分析】直接運用完全平方公式進行因式分解即可．

【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2．

【點評】本題考查了公式法分解因式，熟記完全平方公式的結構特點是解題的關鍵．

11．在環保整治行動中，某市環保局對轄區內的單位進行了抽樣調查，他們的綜合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，則這組數據的中位數是　92　，眾數是　95　．

【分析】環保整治行動中，某市環保局對轄區內的單位進行了抽樣調查，他們的綜合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，則這組數據的中位數．

【解答】解：這組數據從小到大排列為：83，85，90，92，95，95，96．則中位數是：92；

眾數是95．

故答案是：92，95．

【點評】本題考查了眾數、中位數的定義，注意中位數是大小處于中間未知的數，首先把數從小到大排列．

12．如圖，點P是∠NOM的邊OM上一點，PD⊥ON于點D，∠OPD=30°，PQ∥ON，則∠MPQ的度數是　60°　．

【分析】根據直角三角形的內角和，求得∠O，再根據平行線的性質，即可得到∠MPQ．

【解答】解：∵PD⊥ON于點D，∠OPD=30°，

∴Rt△OPD中，∠O=60°，

又∵PQ∥ON，

∴∠MPQ=∠O=60°，

故答案為：60°．

【點評】本題主要考查了平行線的性質以及垂線的定義，解題時注意：兩直線平行，同位角相等．

13．不等式組的解集是　x＜﹣3　．

【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．

【解答】解：

∵解不等式①得：x≤3，

解不等式②得：x＜﹣3，

∴不等式組的解集為x＜﹣3，

故答案為：x＜﹣3．

【點評】本題考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式組，能根據不等式的解集求出不等式組的解集是解此題的關鍵．

14．在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且關于x的方程x2﹣4x+b=0有兩個相等的實數根，則AC邊上的中線長為　2　．

【分析】由根的判別式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結論．

【解答】解：∵關于x的方程x2﹣4x+b=0有兩個相等的實數根，

∴△=16﹣4b=0，

∴AC=b=4，

∵BC=2，AB=2，

∴BC2+AB2=AC2，

∴△ABC是直角三角形，AC是斜邊，

∴AC邊上的中線長=AC=2；

故答案為：2．

【點評】本題考查了根的判別式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線性質；證明△ABC是直角三角形是解決問題的關鍵．

15．我國魏晉時期的數學家劉徽創立了“割圓術”，認為圓內接正多邊形邊數無限增加時，周長就越接近圓周長，由此求得了圓周率π的近似值，設半徑為r的圓內接正n邊形的周長為L，圓的直徑為d，如圖所示，當n=6時，π≈==3，那么當n=12時，π≈=　3.10　．（結果精確到0.01，參考數據：sin15°=cos75°≈0.259）

【分析】圓的內接正十二邊形被半徑分成頂角為30°的十二個等腰三角形，作輔助線構造直角三角形，根據中心角的度數以及半徑的大小，求得L=6.207r，d=2r，進而得到π≈=≈3.10．

【解答】解：如圖，圓的內接正十二邊形被半徑分成如圖所示的十二個等腰三角形，其頂角為30°，即∠O=30°，∠ABO=∠A=75°，

作BC⊥AO于點C，則∠ABC=15°，

∵AO=BO=r，

∴BC=r，OC=r，

∴AC=（1﹣）r，

∵Rt△ABC中，cosA=，

即0.259=，

∴AB≈0.517r，

∴L=12×0.517r=6.207r，

又∵d=2r，

∴π≈=≈3.10，

故答案為：3.10

【點評】本題主要考查了正多邊形和圓以及解直角三角形的運用，把一個圓分成n（n是大于2的自然數）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．

16．如圖，⊙O為等腰△ABC的外接圓，直徑AB=12，P為弧上任意一點（不與B，C重合），直線CP交AB延長線于點Q，⊙O在點P處切線PD交BQ于點D，下列結論正確的是　②③④　．（寫出所有正確結論的序號）

①若∠PAB=30°，則弧的長為π；②若PD∥BC，則AP平分∠CAB；

③若PB=BD，則PD=6；④無論點P在弧上的位置如何變化，CPCQ為定值．

【分析】①根據∠POB=60°，OB=6，即可求得弧的長；②根據切線的性質以及垂徑定理，即可得到=，據此可得AP平分∠CAB；③根據BP=BO=PO=6，可得△BOP是等邊三角形，據此即可得出PD=6；④判定△ACP∽△QCA，即可得到=，即CPCQ=CA2，據此可得CPCQ為定值．

【解答】解：如圖，連接OP，

∵AO=OP，∠PAB=30°，

∴∠POB=60°，

∵AB=12，

∴OB=6，

∴弧的長為=2π，故①錯誤；

∵PD是⊙O的切線，

∴OP⊥PD，

∵PD∥BC，

∴OP⊥BC，

∴=，

∴∠PAC=∠PAB，

∴AP平分∠CAB，故②正確；

若PB=BD，則∠BPD=∠BDP，

∵OP⊥PD，

∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，

∴∠BOP=∠BPO，

∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等邊三角形，

∴PD=OP=6，故③正確；

∵AC=BC，

∴∠BAC=∠ABC，

又∵∠ABC=∠APC，

∴∠APC=BAC，

又∵∠ACP=∠QCA，

∴△ACP∽△QCA，

∴=，即CPCQ=CA2（定值），故④正確；

故答案為：②③④．

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，垂徑定理，切線的性質以及弧長公式的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線，構造三角形，解題時注意：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧．

三、解答題（本大題共8小題，共64分）

17．計算：2sin60°+|3﹣|+（π﹣2）0﹣（）﹣1．

【分析】根據特殊角的三角函數值、零指數冪的運算法則、負整數指數冪的運算法則、絕對值的性質進行化簡，計算即可．

【解答】解：原式=2×+3﹣+1﹣2

=2．

【點評】本題考查的是實數的混合運算，掌握特殊角的三角函數值、零指數冪的運算法則、負整數指數冪的運算法則、絕對值的性質是解題的關鍵．

18．求證：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

小紅同學根據題意畫出了圖形，并寫出了已知和求證的一部分，請你補全已知和求證，并寫出證明過程．

已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，　AC⊥BD　．

求證：　四邊形ABCD是菱形　．

【分析】由命題的題設和結論可填出答案，由平行四邊形的性質可證得AC為線段BD的垂直平分線，可求得AB=AD，可得四邊形ABCD是菱形．

【解答】已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，

求證：四邊形ABCD是菱形．

證明：

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴BO=DO，

∵AC⊥BD，

∴AC垂直平分BD，

∴AB=AD，

∴四邊形ABCD為菱形．

故答案為：AC⊥BD；四邊形ABCD是菱形．

【點評】本題主要考查菱形的判定及平行四邊形的性質，利用平行四邊形的性質證得AB=AD是解題的關鍵．

19．（8分）如圖，直線y=x+b與雙曲線y=（k為常數，k≠0）在第一象限內交于點A（1，2），且與x軸、y軸分別交于B，C兩點．

（1）求直線和雙曲線的解析式；

（2）點P在x軸上，且△BCP的面積等于2，求P點的坐標．

【分析】（1）把A（1，2）代入雙曲線以及直線y=x+b，分別可得k，b的值；

（2）先根據直線解析式得到BO=CO=1，再根據△BCP的面積等于2，即可得到P的坐標．

【解答】解：（1）把A（1，2）代入雙曲線y=，可得k=2，

∴雙曲線的解析式為y=；

把A（1，2）代入直線y=x+b，可得b=1，

∴直線的解析式為y=x+1；

（2）設P點的坐標為（x，0），

在y=x+1中，令y=0，則x=﹣1；令x=0，則y=1，

∴B（﹣1，0），C（0，1），即BO=1=CO，

∵△BCP的面積等于2，

∴BP×CO=2，即|x﹣（﹣1）|×1=2，

解得x=3或﹣5，

∴P點的坐標為（3，0）或（﹣5，0）．

【點評】本題主要考查了反比例函數與一次函數交點問題，解題時注意：反比例函數與一次函數交點的坐標同時滿足兩個函數解析式．

20．（8分）我市某校組織愛心捐書活動，準備將一批捐贈的書打包寄往貧困地區，其中每包書的數目相等．第一次他們領來這批書的，結果打了16個包還多40本；第二次他們把剩下的書全部取來，連同第一次打包剩下的書一起，剛好又打了9個包，那么這批書共有多少本？

【分析】設這批書共有3x本，根據每包書的數目相等．即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．

【解答】解：設這批書共有3x本，

根據題意得： =，

解得：x=500，

∴3x=1500．

答：這批書共有500本．

【點評】本題考查了一元一次方程的應用，根據每包書的數目相等．列出關于x的一元一次方程是解題的關鍵．

21．（8分）為了加強學生課外閱讀，開闊視野，某校開展了“書香校園，從我做起”的主題活動，學校隨機抽取了部分學生，對他們一周的課外閱讀時間進行調查，繪制出頻數分布表和頻數分布直方圖的一部分如下：

請根據圖表信息回答下列問題：

（1）頻數分布表中的a=　25　，b=　0.10　；

（2）將頻數分布直方圖補充完整；

（3）學校將每周課外閱讀時間在8小時以上的學生評為“閱讀之星”，請你估計該校2000名學生中評為“閱讀之星”的有多少人？

【分析】（1）由閱讀時間為0＜t≤2的頻數除以頻率求出總人數，確定出a與b的值即可；

（2）補全條形統計圖即可；

（3）由閱讀時間在8小時以上的百分比乘以2000即可得到結果．

【解答】解：（1）根據題意得：2÷0.04=50（人），

則a=50﹣（2+3+15+5）=25；b=5÷50=0.10；

故答案為：25；0.10；

（2）閱讀時間為6＜t≤8的學生有25人，補全條形統計圖，如圖所示：

（3）根據題意得：2000×0.10=200（人），

則該校2000名學生中評為“閱讀之星”的有200人．

【點評】此題考查了頻率（數）分布表，條形統計圖，以及用樣本估計總體，弄清題中的數據是解本題的關鍵．

22．（8分）某太陽能熱水器的橫截面示意圖如圖所示，已知真空熱水管AB與支架CD所在直線相交于點O，且OB=OD，支架CD與水平線AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm．

（1）求支架CD的長；

（2）求真空熱水管AB的長．（結果保留根號）

【分析】（1）在Rt△CDE中，根據∠CDE=30°，DE=80cm，求出支架CD的長是多少即可．[來源:Z&xx&k.Com]

（2）首先在Rt△OAC中，根據∠BAC=30°，AC=165cm，求出OC的長是多少，進而求出OD的長是多少；然后求出OA的長是多少，即可求出真空熱水管AB的長是多少．

【解答】解：（1）在Rt△CDE中，∠CDE=30°，DE=80cm，

∴CD=80×cos30°=80×=40（cm）．

（2）在Rt△OAC中，∠BAC=30°，AC=165cm，

∴OC=AC×tan30°=165×=55（cm），

∴OD=OC﹣CD=55﹣40=15（cm），

∴AB=AO﹣OB=AO﹣OD=55×2﹣15=95（cm）．

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用，要熟練掌握，注意將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題）．

23．問題背景：已知∠EDF的頂點D在△ABC的邊AB所在直線上（不與A，B重合），DE交AC所在直線于點M，DF交BC所在直線于點N，記△ADM的面積為S1，△BND的面積為S2．

（1）初步嘗試：如圖①，當△ABC是等邊三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2時，則S1S2=　12　；

（2）類比探究：在（1）的條件下，先將點D沿AB平移，使AD=4，再將∠EDF繞點D旋轉至如圖②所示位置，求S1S2的值；

（3）延伸拓展：當△ABC是等腰三角形時，設∠B=∠A=∠EDF=α．

（Ⅰ）如圖③，當點D在線段AB上運動時，設AD=a，BD=b，求S1S2的表達式（結果用a，b和α的三角函數表示）．

（Ⅱ）如圖④，當點D在BA的延長線上運動時，設AD=a，BD=b，直接寫出S1S2的表達式，不必寫出解答過程．

【分析】（1）首先證明△ADM，△BDN都是等邊三角形，可得S1=22=，S2=（4）2=4，由此即可解決問題；

（2）如圖2中，設AM=x，BN=y．首先證明△AMD∽△BDN，可得=，推出=，推出xy=8，由S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，可得S1S2=xy=xy=12；

（3）Ⅰ如圖3中，設AM=x，BN=y，同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，可得S1S2=（ab）2sin2α．

（Ⅱ）結論不變，證明方法類似；

【解答】解：（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，

∵DE∥BC，∠EDF=60°，

∴∠BND=∠EDF=60°，

∴∠BDN=∠ADM=60°，

∴△ADM，△BDN都是等邊三角形，

∴S1=22=，S2=（4）2=4，

∴S1S2=12，

故答案為12．

（2）如圖2中，設AM=x，BN=y．

∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，

∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，

∴△AMD∽△BDN，

∴=，

∴=，

∴xy=8，

∵S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，

∴S1S2=xy=xy=12．

（3）Ⅰ如圖3中，設AM=x，BN=y，

同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，

∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，

∴S1S2=（ab）2sin2α．

Ⅱ如圖4中，設AM=x，BN=y，

同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，

∵S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，

∴S1S2=（ab）2sin2α．

【點評】本題考查幾何變換綜合題、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、相似三角形的判定和性質、三角形的面積公式．銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．

24．（10分）如圖，拋物線y=x2+bx+c經過點B（3，0），C（0，﹣2），直線l：y=﹣x﹣交y軸于點E，且與拋物線交于A，D兩點，P為拋物線上一動點（不與A，D重合）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P在直線l下方時，過點P作PM∥x軸交l于點M，PN∥y軸交l于點N，求PM+PN的最大值．

（3）設F為直線l上的點，以E，C，P，F為頂點的四邊形能否構成平行四邊形？若能，求出點F的坐標；若不能，請說明理由．

【分析】（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c解方程組即可得到結論；

（2）設P（m， m2﹣m﹣2），得到N（m，﹣ m﹣），M（﹣m2+2m+2， m2﹣m﹣2），根據二次函數的性質即可得到結論；

（3）求得E（0，﹣），得到CE=，設P（m， m2﹣m﹣2），①以CE為邊，根據CE=PF，列方程得到m=1，m=0（舍去），②以CE為對角線，連接PF交CE于G，CG=GE，PG=FG，得到G（0，﹣），設P（m， m2﹣m﹣2），則F（﹣m， m﹣），列方程得到此方程無實數根，于是得到結論．

【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c得，，

∴

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2；

（2）設P（m， m2﹣m﹣2），

∵PM∥x軸，PN∥y軸，M，N在直線AD上，

∴N（m，﹣ m﹣），M（﹣m2+2m+2， m2﹣m﹣2），

∴PM+PN=﹣m2+2m+2﹣m﹣m﹣﹣m2+m+2=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+，

∴當m=時，PM+PN的最大值是；

（3）能，

理由：∵y=﹣x﹣交y軸于點E，

∴E（0，﹣），

∴CE=，

設P（m， m2﹣m﹣2），

∵以E，C，P，F為頂點的四邊形能否構成平行四邊形，

①以CE為邊，∴CE∥PF，CE=PF，

∴F（m，﹣ m﹣），

∴﹣m﹣﹣m2+m+2=，

∴m=1，m=0（舍去），

②以CE為對角線，連接PF交CE于G，

∴CG=GE，PG=FG，

∴G（0，﹣），

設P（m， m2﹣m﹣2），則F（﹣m， m﹣），

∴×（m2﹣m﹣2+m﹣）=﹣，

∵△＜0，

∴此方程無實數根，

綜上所述，當m=1時，以E，C，P，F為頂點的四邊形能否構成平行四邊形．

【點評】本題考查了待定系數法求函數的解析式，平行四邊形的性質，二次函數的性質，正確的理解題意是解題的關鍵．