2018年陽江中考數學模擬試題【解析版含答案】

2018年陽江中考數學模擬試題【解析版含答案】

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一、選擇題

1．﹣的倒數是（）

A．﹣3????????????? B．﹣????????????? C．????????????? D．3

2．中共中央總書記、中央軍委主席習近平要求厲行節約反對浪費．據統計數據顯示，我國每年浪費食物總量折合糧食大約是230000000人一年的口糧．將230000000用科學記數法表示為（）

A．2.3×109????????????? B．2.3×108????????????? C．2.3×107????????????? D．23×107

3．如圖所示的物體是一個幾何體，其主視圖是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

4．下列運算中，正確的是（）

A．x2+x2=x4????????????? B．x6÷x2=x3????????????? C．x2?x4=x6????????????? D．（3x2）2=6x4

5．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的根的情況是（）

A．有兩個不相等的實數根????????????? B．有兩個相等的實數根

C．只有一個實數根????????????? D．沒有實數根

6．某中學初三（1）班的一次數學測試的平均成績為80分，男生平均成績為82分，女生平均成績為77分，則該班男、女生的人數之比為（）

A．1：2????????????? B．2：1????????????? C．3：2????????????? D．2：3

7．一個正多邊形的每個外角都等于30°，那么這個正多邊形的中心角為（）

A．15°????????????? B．30°????????????? C．45°????????????? D．60°

8．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

9．函數y=ax（a≠0）與y=在同一坐標系中的大致圖象是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

10．已知函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下結論：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0 ⑤b2﹣4ac＞0．其中正確結論的序號是（）

A．③④????????????? B．②③⑤????????????? C．①④⑤????????????? D．①②③

二、填空題

11．計算： =．

12．分解因式：ab2﹣2ab+a=．

13．如圖，AC與BD相交于點O，且AB=CD，請添加一個條件，使得△ABO≌△CDO．

14．若圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則這個圓錐的全面積為cm2．（結果保留π）

15．如圖，在銳角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N是AD、AB上的動點，則BM+MN的最小值為．

16．如圖，所有正三角形的一邊平行于x軸，一頂點在y軸上，從內到外，它們的邊長依次為2，4，6，8，…，頂點依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2與x軸、底邊A1A2與A4A5、A4A5與A7A8、…均相距一個單位，則頂點A22的坐標是．

三、解答題

17．計算：﹣+2sin60°+（）﹣1．

18．先化簡：，然后再取一個你喜愛的x的值代入求值．

19．如圖，在邊長均為1的正方形網格紙上有一個△ABC，頂點A、B、C及點O均在格點上，請按要求完成以下操作或運算：

（1）將△ABC繞點O旋轉180°，得到△A1B1C1（不寫作法，但要標出字母）；

（2）求點A繞著點O旋轉到點A1所經過的路徑長．

四、解答題

20．某公司現有甲、乙兩種品牌的計算器，甲品牌計算器有A，B，C三種不同的型號，乙品牌計算器有D，E兩種不同的型號，新華中學要從甲、乙兩種品牌的計算器中各選購一種型號的計算器．

（1）如果各種選購方案被選中的可能性相同，那么利用樹狀圖或列表方法求出A型號計算器被選中的概率是多少？

（2）現知新華中學購買甲、乙兩種品牌計算器共40個（價格如圖所示），恰好用了1000元人民幣，其中甲品牌計算器為A型號計算器，求購買的A型號計算器有多少個？

21．如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測得河對岸點C的俯角為30°，測得岸邊點D的俯角為45°，又知河寬CD為50米．現需從山頂A到河對岸點C拉一條筆直的纜繩AC，求纜繩AC的長（答案可帶根號）．

22．如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①分別以A、C為圓心，以大于AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點M、N；

②連接MN，分別交AB、AC于點D、O；

③過C作CE∥AB交MN于點E，連接AE、CD．

（1）求證：四邊形ADCE是菱形；

（2）當∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周長為18時，求四邊形ADCE的面積．

五、解答題

23．已知：正比例函數y=ax（a≠0）的圖象與反比例函數y=（k≠0）的圖象交于點（2，2+2）

（1）試確定上述正比例函數和反比例函數的表達式；

（2）第一象限內，當反比例函數y=的值大于正比例函數y=ax的值時，求x的取值范圍？

（3）如圖，M（m，n）、A（n，m）在第一象限且為反比例函數圖象上的兩動點，過點M作直線MB∥x軸，交y軸于點B；過點A作直線AC∥y軸交x軸于點C，交直線MB于點D．當∠MOA=45°時，求M點坐標．

24．如圖，已知在△ABP中，C是BP邊上一點，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點E．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）過點C作CF⊥AD，垂足為點F，延長CF交AB于點G，若AG?AB=12，求AC的長；

（3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半徑及sin∠ACE的值．

25．如圖，直線y=x+b經過點B（﹣，2），且與x軸交于點A，將拋物線y=x2沿x軸作左右平移，記平移后的拋物線為C，其頂點為P．

（1）求∠BAO的度數；

（2）拋物線C與y軸交于點E，與直線AB交于兩點，其中一個交點為F，當線段EF∥x軸時，求平移后的拋物線C對應的函數關系式；

（3）在拋物線y=x2平移過程中，將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB，點D能否落在拋物線C上？如能，求出此時拋物線C頂點P的坐標；如不能，說明理由．

2018年陽江中考數學模擬試題參考答案與試題解析

一、選擇題

1．﹣的倒數是（）

A．﹣3????????????? B．﹣????????????? C．????????????? D．3

【考點】倒數．

【專題】計算題．

【分析】根據倒數的定義可得到﹣的倒數為﹣3．

【解答】解：﹣的倒數為﹣3．

故選A．

【點評】本題考查了倒數的定義：a（a≠0）的倒數為．

2．中共中央總書記、中央軍委主席習近平要求厲行節約反對浪費．據統計數據顯示，我國每年浪費食物總量折合糧食大約是230000000人一年的口糧．將230000000用科學記數法表示為（）

A．2.3×109????????????? B．2.3×108????????????? C．2.3×107????????????? D．23×107

【考點】科學記數法—表示較大的數．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：230 000 000=2.3×108，

故選：B

【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．

3．如圖所示的物體是一個幾何體，其主視圖是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】簡單幾何體的三視圖．

【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、側面和上面看，所得到的圖形．從物體正面看，看到的是一個等腰梯形．

【解答】解：從物體正面看，看到的是一個等腰梯形．故選C．

【點評】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖，解答時學生易將三種視圖混淆而錯誤的選其它選項．

4．下列運算中，正確的是（）

A．x2+x2=x4????????????? B．x6÷x2=x3????????????? C．x2?x4=x6????????????? D．（3x2）2=6x4

【考點】同底數冪的除法；合并同類項；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．

【分析】根據合并同類項，可判斷A，根據同底數冪的除法，可判斷B，根據同底數冪的乘法，可判斷C，根據積的乘方，可判斷D．

【解答】解：A、系數相加，字母部分不變，故A錯誤；

B、底數不變指數相減，故B錯誤；

C、底數不變指數相加，故C正確；

D、（3x2）2=32x2×2=9x4，故D錯誤；

故選：C．

【點評】本題考查了同底數冪的除法，根據法則計算是解題關鍵．

5．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的根的情況是（）

A．有兩個不相等的實數根????????????? B．有兩個相等的實數根

C．只有一個實數根????????????? D．沒有實數根

【考點】根的判別式．

【專題】計算題．

【分析】先計算出判別式的值，然后根據判別式的意義進行判斷．

【解答】解：△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）=9＞0，

所以方程有兩個不相等的兩個實數根．

故選A．

【點評】本題考查了根的判別式：用一元二次方程根的判別式（△=b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；當△＜0時，方程無實數根．

6．某中學初三（1）班的一次數學測試的平均成績為80分，男生平均成績為82分，女生平均成績為77分，則該班男、女生的人數之比為（）

A．1：2????????????? B．2：1????????????? C．3：2????????????? D．2：3

【考點】加權平均數．

【分析】設男、女生的人數分別為x、y，根據加權平均數的概念列式整理即可得解．

【解答】解：設男、女生的人數分別為x、y，

82x+77y=80（x+y），

整理得，2x=3y，

所以，x：y=3：2．

故選C．

【點評】本題考查了加權平均數的求法，熟記定義是解題的關鍵．

7．一個正多邊形的每個外角都等于30°，那么這個正多邊形的中心角為（）

A．15°????????????? B．30°????????????? C．45°????????????? D．60°

【考點】多邊形內角與外角．

【分析】正多邊形的一個外角的度數與正多邊形的中心角的度數，據此即可求解．

【解答】解：正多邊形的一個外角等于30°，則中心角的度數是30°．

故選B．

【點評】本題考查了正多邊形的計算，理解正多邊形的外角的度數與中心角的度數相等是關鍵．

8．如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】相似三角形的判定．

【分析】設各小正方形的邊長為1，根據勾股定理分別表示出已知陰影三角形的各邊長，同理利用勾股定理表示出四個選項中陰影三角形的各邊長，利用三邊長對應成比例的兩三角形相似可得出左圖中的陰影三角形與已知三角形相似的選項．

【解答】解：設各個小正方形的邊長為1，則已知的三角形的各邊分別為，2，，

A、因為三邊分別為：，，3，三邊不能與已知三角形各邊對應成比例，故兩三角形不相似；

B、因為三邊分別為：1，，，三邊與已知三角形的各邊對應成比例，故兩三角形相似；

C、因為三邊分別為：1，2，三邊不能與已知三角形各邊對應成比例，故兩三角形不相似；

D、因為三邊分另為：2，，，三邊不能與已知三角形各邊對應成比例，故兩三角形不相似，

故選：B．

【點評】此題考查了相似三角形的判定以及勾股定理的運用；相似三角形的判定方法有：1、二對對應角相等的兩三角形相似；2、兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似；3、三邊長對應成比例的兩三角形相似；4、相似三角形的定義．本題利用的是方法3．

9．函數y=ax（a≠0）與y=在同一坐標系中的大致圖象是（）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】反比例函數的圖象；正比例函數的圖象．

【分析】根據正比例函數與反比例函數的性質對各選項進行逐一分析即可．

【解答】解：A、由反比例函數的圖象可知a＞0，由正比例函數的圖象可知a＜0，二者相矛盾，故本選項錯誤；

B、由反比例函數的圖象可知a＜0，由正比例函數的圖象可知a＞0，二者相矛盾，故本選項錯誤；

C、由反比例函數的圖象可知a＞0，由正比例函數的圖象可知a＜0，二者相矛盾，故本選項錯誤；

D、由反比例函數的圖象可知a＞0，由正比例函數的圖象可知a＞0，二者一致，故本選項正確．

故選D．

【點評】本題考查的是反比例函數的性質，熟知一次函數與反比例函數的圖象與系數的關系是解答此題的關鍵．

10．已知函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下結論：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0 ⑤b2﹣4ac＞0．其中正確結論的序號是（）

A．③④????????????? B．②③⑤????????????? C．①④⑤????????????? D．①②③

【考點】二次函數圖象與系數的關系．

【專題】計算題．

【分析】由x=1時，y=a+b+C＞0，即可判定①錯誤；

由x=﹣1時，y=a﹣b+c＜0，即可判定②正確；

由拋物線的開口向下知a＜0，與y軸的交點為在y軸的正半軸上得到c＞0，又對稱軸為x=＜1，得到2a+b＜0，由此可以判定③正確；

由對稱軸為x=＞0即可判定④錯誤．

由y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點，△＞0即可判斷⑤正確．

【解答】解：①當x=1時，y=a+b+C＞0，∴①錯誤；

②當x=﹣1時，y=a﹣b+c＜0，∴②正確；

③由拋物線的開口向下知a＜0，

與y軸的交點為在y軸的正半軸上，

∴c＞0，

∵對稱軸為x=＜1，

∴2a+b＜0，

∴③正確；

④對稱軸為x=＞0，

∴a、b異號，即b＞0，

∴abc＜0，

∴④錯誤．

⑤由y=ax2+bx+c與x軸有兩個交點，∴△＞0，∴△=b2﹣4ac＞0，故⑤正確；

故正確結論的序號是②③⑤，

故選B．

【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，難度不大，關鍵是掌握二次函數y=ax2+bx+c系數符號的確定：（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0；（2）b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=判斷符號；（3）c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0；

二、填空題

11．計算： =　4　．

【考點】算術平方根．

【專題】計算題．

【分析】根據算術平方根的概念去解即可．算術平方根的定義：一個非負數的正的平方根，即為這個數的算術平方根，由此即可求出結果．

【解答】解：∵42=16，

∴=4，

故答案為4．

【點評】此題主要考查了算術平方根的定義，算術平方根的概念易與平方根的概念混淆而導致錯誤．

12．分解因式：ab2﹣2ab+a=　a（b﹣1）2　．

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用．

【分析】先提取公因式a，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解．

【解答】解：ab2﹣2ab+a，

=a（b2﹣2b+1），

=a（b﹣1）2．

【點評】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，難點在于提取公因式后利用完全平方公式進行二次因式分解．

13．如圖，AC與BD相交于點O，且AB=CD，請添加一個條件　∠A=∠C　，使得△ABO≌△CDO．

【考點】全等三角形的判定．

【專題】開放型．

【分析】首先根據對頂角相等，可得∠AOB=∠COD；然后根據兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等，要使得△ABO≌△CDO，則只需∠A=∠C即可．

【解答】解：∵∠AOB、∠COD是對頂角，

∴∠AOB=∠COD，

又∵AB=CD，

∴要使得△ABO≌△CDO，

則只需添加條件：∠A=∠C．（答案不唯一）

故答案為：∠A=∠C．（答案不唯一）

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等．

14．若圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則這個圓錐的全面積為　24π　cm2．（結果保留π）

【考點】圓錐的計算．

【專題】計算題．

【分析】表面積=底面積+側面積=π×底面半徑2+底面周長×母線長÷2．

【解答】解：底面圓的半徑為3，則底面周長=6π，

側面面積=×6π×5=15π；

底面積為=9π，

全面積為：15π+9π=24π．

故答案為24π．

【點評】本題利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解．

15．如圖，在銳角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N是AD、AB上的動點，則BM+MN的最小值為　3　．

【考點】軸對稱-最短路線問題．

【分析】在AC上取一點E，使得AE=AB，過E作EN⊥AB于N，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，根據兩點之間線段最短和垂線段最短得出此時BM+MN最小，求出E和B關于AD對稱，求出BM+MN′=EN′，求出EN′，即可求出答案．

【解答】解：在AC上取一點E，使得AE=AB，過E作EN⊥AB于N′，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，則BM+MN最小（根據兩點之間線段最短；點到直線垂直距離最短），

∵AD平分∠CAB，AE=AB，

∴EO=OB，AD⊥BE，

∴AD是BE的垂直平分線（三線合一），

∴E和B關于直線AD對稱，

∴EM=BM，

即BM+MN′=EM+MN′=EN′，

∵EN′⊥AB，

∴∠ENA=90°，

∵∠CAB=60°，

∴∠AEN′=30°，

∵AE=AB=6，

∴AN=AE=3，

在△AEN中，由勾股定理得：EN===3，即BM+MN的最小值是3．

故答案為：3．

【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到垂線的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形性質，軸對稱的性質，等腰三角形的性質等知識點的綜合運用．

16．如圖，所有正三角形的一邊平行于x軸，一頂點在y軸上，從內到外，它們的邊長依次為2，4，6，8，…，頂點依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2與x軸、底邊A1A2與A4A5、A4A5與A7A8、…均相距一個單位，則頂點A22的坐標是　（﹣8，﹣8）　．

【考點】規律型：點的坐標．

【分析】先根據每一個三角形有三個頂點確定出A22所在的三角形，再求出相應的三角形的邊長以及A22的縱坐標的長度，即可得解．

【解答】解：∵△A1A2A3的邊長為2，

∴△A1A2A3的高線為2×=，

∵A1A2與x軸相距1個單位，

∴A3O=﹣1，

∴A3的坐標是（0，﹣1）；

∵22÷3=7…1，

∴A22是第8個等邊三角形的第1個頂點，

第8個等邊三角形邊長為2×8=16，

∴點A22的橫坐標為﹣×16=﹣8，

∵邊A1A2與A4A5、A4A5與A7A8、…均相距一個單位，

∴點A22的縱坐標為﹣8，

∴點A22的坐標為（﹣8，﹣8）．

故答案為（﹣8，﹣8）．

【點評】本題是點的變化規律的考查，主要利用了等邊三角形的性質，難度不大，第二問確定出點A92所在三角形是解題的關鍵．

三、解答題

17．計算：﹣+2sin60°+（）﹣1．

【考點】實數的運算；負整數指數冪；特殊角的三角函數值．

【專題】計算題．

【分析】分別根據絕對值的性質、特殊角的三角函數值及負整數指數冪計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可．

【解答】解：原式=﹣2+2×+3

=3．

【點評】本題考查的是實數的混合運算，熟知絕對值的性質、特殊角的三角函數值及負整數指數冪的計算法則是解答此題的關鍵．

18．先化簡：，然后再取一個你喜愛的x的值代入求值．

【考點】分式的化簡求值．

【分析】首先把每個分式的分子，分母分解因式，然后計算分式的乘法，最后進行減法運算即可化簡，最后代入適當的x的值計算即可求解．

【解答】解：原式=?﹣

=﹣

=﹣，

當x=1時，原式=﹣=2．

【點評】注意：取喜愛的數代入求值時，要特注意原式及化簡過程中的每一步都有意義．如果取x=0，則原式沒有意義，因此，盡管0是大家的所喜愛的數，但在本題中卻是不允許的．

19．如圖，在邊長均為1的正方形網格紙上有一個△ABC，頂點A、B、C及點O均在格點上，請按要求完成以下操作或運算：

（1）將△ABC繞點O旋轉180°，得到△A1B1C1（不寫作法，但要標出字母）；

（2）求點A繞著點O旋轉到點A1所經過的路徑長．

【考點】作圖-旋轉變換．

【專題】作圖題．

【分析】（1）利用網格特點和旋轉的性質，畫出點A、B、C的對應點A1、B1、C1即可；

（2）點A繞著點O旋轉到點A1所經過的路徑為以點A為圓心，4為半徑，圓心角為180度的弧，然后根據弧長公式計算即可．

【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；

（2）點A繞著點O旋轉到點A1所經過的路徑長=π．

【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．

四、解答題

20．某公司現有甲、乙兩種品牌的計算器，甲品牌計算器有A，B，C三種不同的型號，乙品牌計算器有D，E兩種不同的型號，新華中學要從甲、乙兩種品牌的計算器中各選購一種型號的計算器．

（1）如果各種選購方案被選中的可能性相同，那么利用樹狀圖或列表方法求出A型號計算器被選中的概率是多少？

（2）現知新華中學購買甲、乙兩種品牌計算器共40個（價格如圖所示），恰好用了1000元人民幣，其中甲品牌計算器為A型號計算器，求購買的A型號計算器有多少個？

【考點】列表法與樹狀圖法；二元一次方程組的應用．

【專題】應用題．

【分析】（1）利用樹狀圖展示所有6種等可能的結果數，再找出選中A型號計算器的結果數，然后根據概率公式求解；

（2）討論：當選用方案（A，D）時，設購買A型號，D型號計算器分別為x，y個，根據題意得，；當選用方案（A，E）時，設購買A型號、E型號計算器分別為m，n個，根據題意得，然后分別解方程組即可得到答案．

【解答】解：（1）畫樹狀圖為：

共有6種等可能的結果數，其中選中A型號計算器的結果數為2，

所以A型號計算器被選中的概率==；

（2）由（2）可知，當選用方案（A，D）時，設購買A型號，D型號計算器分別為x，y個，根據題意得，解得，經檢驗不符合題意，舍去；

當選用方案（A，E）時，設購買A型號、E型號計算器分別為m，n個，根據題意得，解得，

所以新華中學購買了5個A型號計算器．

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，求出概率．也考查了二元一次方程組的應用．

21．如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測得河對岸點C的俯角為30°，測得岸邊點D的俯角為45°，又知河寬CD為50米．現需從山頂A到河對岸點C拉一條筆直的纜繩AC，求纜繩AC的長（答案可帶根號）．

【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題．

【專題】應用題．

【分析】首先分析圖形：根據題意構造直角三角形；本題涉及到兩個直角三角形，應利用其公共邊構造等量關系，進而可求出答案．

【解答】解：作AB⊥CD交CD的延長線于點B，

在Rt△ABC中，

∵∠ACB=∠CAE=30°，∠ADB=∠EAD=45°，

∴AC=2AB，DB=AB．

設AB=x，則BD=x，AC=2x，CB=50+x，

∵tan∠ACB=tan30°，

∴AB=CB?tan∠ACB=CB?tan30°．

∴x=（50+x）?．

解得：x=25（1+），

∴AC=50（1+）（米）．

答：纜繩AC的長為50（1+）米．

【點評】本題要求學生借助仰角關系構造直角三角形，并結合圖形利用三角函數解直角三角形．

22．如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①分別以A、C為圓心，以大于AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點M、N；

②連接MN，分別交AB、AC于點D、O；

③過C作CE∥AB交MN于點E，連接AE、CD．

（1）求證：四邊形ADCE是菱形；

（2）當∠ACB=90°，BC=6，△ADC的周長為18時，求四邊形ADCE的面積．

【考點】作圖—復雜作圖；全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質；勾股定理；菱形的判定；相似三角形的判定與性質．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）利用直線DE是線段AC的垂直平分線，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，進而得出△AOD≌△COE，即可得出四邊形ADCE是菱形；

（2）利用當∠ACB=90°時，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可得出AC和DE的長即可得出四邊形ADCE的面積．

【解答】（1）證明：由題意可知：

∵分別以A、C為圓心，以大于AC的長為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點M、N；

∴直線DE是線段AC的垂直平分線，

∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°；

且AD=CD、AO=CO，

又∵CE∥AB，

∴∠1=∠2，

在△AOD和△COE中

，

∴△AOD≌△COE（AAS），

∴OD=OE，

∵A0=CO，DO=EO，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，

又∵AC⊥DE，

∴四邊形ADCE是菱形；

（2）解：當∠ACB=90°時，

OD∥BC，

即有△ADO∽△ABC，

∴，

又∵BC=6，

∴OD=3，

又∵△ADC的周長為18，

∴AD+AO=9，

即AD=9﹣AO，

∴OD==3，

可得AO=4，

∴DE=6，AC=8，

∴S=AC?DE=×8×6=24．

【點評】此題主要考查了菱形的判定以及對角線垂直的四邊形面積求法，根據已知得出△ADO∽△ABC進而求出AO的長是解題關鍵．

五、解答題

23．已知：正比例函數y=ax（a≠0）的圖象與反比例函數y=（k≠0）的圖象交于點（2，2+2）

（1）試確定上述正比例函數和反比例函數的表達式；

（2）第一象限內，當反比例函數y=的值大于正比例函數y=ax的值時，求x的取值范圍？

（3）如圖，M（m，n）、A（n，m）在第一象限且為反比例函數圖象上的兩動點，過點M作直線MB∥x軸，交y軸于點B；過點A作直線AC∥y軸交x軸于點C，交直線MB于點D．當∠MOA=45°時，求M點坐標．

【考點】反比例函數與一次函數的交點問題．

【分析】（1）將點（2，2+2）代入兩個函數解析式即可．

（2）觀察兩個函數圖象的位置，反比例函數圖象在上面，即可寫出答案．

（3）將△OMB繞點O順時針旋轉90°得到△OCE，連接AM，只要證明AM=BM+AC，列出關于m、n的方程即可解決．

【解答】解：（1）把點（2，2+2）分別代入正比例函數和反比例函數解析式得：

2+2=2a，解得a=+1，2+2=，解得k=4+4，

所以正比例函數解析式為：y=（+1）x，

反比例函數解析式：y=．

（2）當0＜x＜2時，反比例函數y=的值大于正比例函數y=ax的值．

（3）因為M（n，m），A（m，n），可知：四邊形BOCD為正方形，又∠MOA=45°，

將△OMB繞點O順時針旋轉90°得到△OCE，連接AM．

∵∠BOM+∠AOC=45°，∠BOM=∠EOC，OE=OM．BM=CE，

∴∠AOC+∠EOC=45°=∠MOA，

在△OAM和△OAE中，

，

∴△OAM≌△OAE，

∴AM=AE=AC+CE=AC+BM

又∵BM=m，AC=m，

∴AM=2m，MD=n﹣m=DA，

∴三角形MDA是等腰三角形，MA=MD即2m=（n﹣m）??? ①，

又∵M點在反比例函數圖象上，

∴mn=4+4????? ②，

由①②解得，

∴M（2，2+2）．

【點評】本題考查反比例函數與一次函數的圖象的交點，學會待定系數法求函數解析式，能根據圖象由函數值的大小確定自變量的取值范圍，第三個問題添加輔助線是解決問題的關鍵，屬于中考常考題型．

24．如圖，已知在△ABP中，C是BP邊上一點，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點E．

（1）求證：PA是⊙O的切線；

（2）過點C作CF⊥AD，垂足為點F，延長CF交AB于點G，若AG?AB=12，求AC的長；

（3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半徑及sin∠ACE的值．

【考點】圓的綜合題．

【分析】（1）根據圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°進而得出答案；

（2）首先得出△CAG∽△BAC，進而得出AC2=AG?AB，求出AC即可；

（3）先求出AF的長，根據勾股定理得：AG=，即可得出sin∠ADB=，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．

【解答】（1）證明：連接CD，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ACD=90°，

∴∠CAD+∠ADC=90°，

又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，

∴∠PAC=∠ADC，

∴∠CAD+∠PAC=90°，

∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直徑，

∴PA是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，

∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，

∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，

∴△CAG∽△BAC，

∴=，

即AC2=AG?AB，

∵AG?AB=12，

∴AC2=12，

∴AC=2；

（3）解：設AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，

∴AD=AF+FD=3x，

在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2=AF?AD，

即3x2=12，

解得；x=2，

∴AF=2，AD=6，∴⊙O半徑為3，

在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，

根據勾股定理得：AG===，

由（2）知，AG?AB=12，

∴AB==，

連接BD，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，

在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，

∴sin∠ADB=，

∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，

∴sin∠ACE=．

【點評】此題主要考查了圓的綜合應用以及勾股定理和銳角三角函數關系等知識，根據已知得出AG的長以及AB的長是解題關鍵．

25．如圖，直線y=x+b經過點B（﹣，2），且與x軸交于點A，將拋物線y=x2沿x軸作左右平移，記平移后的拋物線為C，其頂點為P．

（1）求∠BAO的度數；

（2）拋物線C與y軸交于點E，與直線AB交于兩點，其中一個交點為F，當線段EF∥x軸時，求平移后的拋物線C對應的函數關系式；

（3）在拋物線y=x2平移過程中，將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB，點D能否落在拋物線C上？如能，求出此時拋物線C頂點P的坐標；如不能，說明理由．

【考點】二次函數綜合題．

【專題】綜合題；壓軸題．

【分析】（1）因為點B（﹣，2）在直線y=x+b上，所以把B點坐標代入解析式即可求出未知數的值，進而求出其解析式．根據直線解析式可求出A點的坐標及直線與y軸交點的坐標，根據銳角三角函數的定義即可求出∠BAO的度數．

（2）根據拋物線平移的性質可設出拋物線平移后的解析式，由拋物線上點的坐標特點求出E點坐標及對稱軸直線，根據EF∥x軸可知E，F，兩點關于對稱軸直線對稱，可求出F點的坐標，把此坐標代入（1）所求的直線解析式就可求出未知數的值，進而求出拋物線C的解析式．

（3）根據特殊角求出D點的坐標表達式，將表達式代入解析式，看能否計算出P點坐標，若能，則D點在拋物線C上．反之，不在拋物線上．

【解答】解：（1）設直線與y軸交于點N，

將x=﹣，y=2代入y=x+b得b=3，

∴y=x+3，

當x=0時，y=3，當y=0時x=﹣3

∴A（﹣3，0），N（0，3）；

∴OA=3，ON=3，

∴tan∠BAO==

∴∠BAO=30°，

（2）設拋物線C的解析式為y=（x﹣t）2，則P（t，0），E（0， t2），

∵EF∥x軸且F在拋物線C上，根據拋物線的對稱性可知F（2t， t2），

把x=2t，y=t2代入y=x+3

得t+3=t2

解得t1=﹣，t2=3

∴拋物線C的解析式為y=（x﹣3）2或y=（x+）2．

（3）假設點D落在拋物線C上，

不妨設此時拋物線頂點P（m，0），則拋物線C：y=（x﹣m）2，AP=3+m，

連接DP，作DM⊥x軸，垂足為M．由已知，得△PAB≌△DAB，

又∵∠BAO=30°，

∴△PAD為等邊三角形，

PM=AM=（3+m），

∴tan∠DAM==，

∴DM=（9+m），

OM=PM﹣OP=（3+m）﹣m=（3﹣m），

∴M=[﹣（3﹣m），0]，

∴D[﹣（3﹣m），（9+m）]，

∵點D落在拋物線C上，

∴（9+m）= [﹣（3﹣m）﹣m]2，即m2=27，m=±3；

當m=﹣3時，此時點P（﹣3，0），點P與點A重合，不能構成三角形，不符合題意，舍去．

當m=3時P為（3，0）此時可以構成△DAB，

所以點P為（3，0），

∴當點D落在拋物線C上，頂點P為（3，0）．

【點評】此題將拋物線與直線相結合，涉及到動點問題，翻折變換問題，有一定的難度．尤其（3）題是一道開放性問題，需要進行探索．要求同學們有一定的創新能力．