2018衡水市中考數學沖刺試題【解析版含答案】

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2018衡水市中考數學沖刺試題

一、選擇題（本大題共16個小題，1-10題每個小題3分，11-16題，每個小題2分，共42分）

1．10月26日，眉山市2東坡區實驗中學全體師生在操場隆重集會，舉行“2015年讀書月活動”．張萌調查了她所在班級5名同學一周內的累計讀書時間，分別為：40分鐘、45分鐘、50分鐘、40分鐘、60分鐘，則該組數據的平均數、中位數分別是（　　）

A．47，45????????????? B．45，45????????????? C．40，45????????????? D．47，45

2．某樹苗培育基地培育了1000棵銀杏樹苗，為了解樹苗的長勢，測量了6棵樹苗的高（單位：cm），其分別為51，48，51，49，52，49，則這1000棵樹苗的方差的估計值為（　　）

A．1????????????? B．1.5????????????? C．2????????????? D．3

3．將方程3x2﹣x=﹣2（x+1）2化成一般形式后，一次項系數為（　　）

A．﹣5????????????? B．5????????????? C．﹣3????????????? D．3

4．（衡水中考數學）芳芳有一個無蓋的收納箱，該收納箱展開后的圖形（實線部分）如圖所示，將該圖形補充四個邊長為10cm的小正方形后，得到一個矩形，已知矩形的面積為2000cm2，根據圖中信息，可得x的值為（　　）

A．10????????????? B．20????????????? C．25????????????? D．30

5．如圖，已知△ABC與△DEF分別是等邊三角形和等腰直角三角形，AD與FC分別是△ABC和△DEF的高，AC與DF交于點G，BC，DE在同一條直線上，則下列說法不正確的是（　　）

A．△AGD∽△CGF????????????? B．△AGD∽△DGC

C． =3????????????? D． =

6．如圖，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐標系中，點B，F的坐標分別為（﹣4，4），（2，1）．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似圖形，點P（點P在GC上）是位似中心，則點P的坐標為（　　）

A．（0，3）????????????? B．（0，2.5）????????????? C．（0，2）????????????? D．（0，1.5）

7．如圖，已知“人字梯”的5個踩檔把梯子等分成6份，從上往下的第二個踩檔與第三個踩檔的正中間處有一條60cm長的綁繩EF，tanα=，則“人字梯”的頂端離地面的高度AD是（　　）

A．144cm????????????? B．180cm????????????? C．240cm????????????? D．360cm

8．（衡水中考數學）若點M（﹣3，a），N（4，﹣6）在同一個反比例函數的圖象上，則a的值為（　　）

A．8????????????? B．﹣8????????????? C．﹣7????????????? D．5

9．如圖，在正方形ABCD中，AB=2，連接AC，以點C為圓心、AC長為半徑畫弧，點E在BC的延長線上，則陰影部分的面積為（　　）

A．6π﹣4????????????? B．6π﹣8????????????? C．8π﹣4????????????? D．8π﹣8

10．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=25°，∠C=90°，∠ADC=115°，O為AB的中點，以點O為圓心、AO長為半徑作圓，恰好使得點D在⊙O上，連接OD，若∠EAD=25°，下列說法中不正確的是（　　）

A．D是劣弧的中點????????????? B．CD是⊙O的切線

C．AE∥OD????????????? D．∠OBC=120°

11．如果一種變換是將拋物線向右平移2個單位或向上平移1個單位，我們把這種變換稱為拋物線的簡單變換．已知拋物線經過兩次簡單變換后的一條拋物線是y=x2+1，則原拋物線的解析式不可能的是（　　）

A．y=x2﹣1????????????? B．y=x2+6x+5????????????? C．y=x2+4x+4????????????? D．y=x2+8x+17

12．已知關于x的方程ax2+bx+c=0（a＞0，b＞0）有兩個不相等的實數根，則拋物線y=ax2+bx+c的頂點在（　　）

A．第一象限????????????? B．第二象限????????????? C．第三象限????????????? D．第四象限

13．現有五張分別畫有等邊三角形、平行四邊形、矩形、正五邊形和圓的五個圖形的卡片，它們的背面相同，小梅將它們的背面朝上，從中任意抽出一張，下列說法中正確的是（　　）

A．“抽出的圖形是中心對稱圖形”屬于必然事件

B．“抽出的圖形是六邊形”屬于隨機事件

C．抽出的圖形為四邊形的概率是

D．抽出的圖形為軸對稱圖形的概率是

14．（衡水中考數學）2015年4月30日，蘇州吳江蠶種全部發放完畢，共計發放蠶種6460張（每張上的蠶卵有200粒左右），涉及6個鎮，各鎮隨即開始孵化蠶種，小李所記錄的蠶種孵化情況如表所示，則可以估計蠶種孵化成功的概率為（　　）

A．0.95????????????? B．0.9????????????? C．0.85????????????? D．0.8

15．下列圖形或幾何體中，投影可能是線段的是（　　）

A．正方形????????????? B．長方體????????????? C．圓錐????????????? D．圓柱

16．下列四個幾何體中，左視圖為圓的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）

17．在力F（N）的作用下，物體會在力F的方向上發生位移s（m），力F所做的功W（J）滿足：W=Fs，當W為定值時，F=50N，s=40m，若F由50N減小25N時，并且在所做的功不變的情況下，s的值應　　　　　　．

18．現有一個正六邊形的紙片，該紙片的邊長為20cm，張萌想用一張圓形紙片將該正六邊形紙片完全覆蓋住，則圓形紙片的直徑不能小于　　　　　　cm．

19．小峰家要在一面長為38m的墻的一側修建4個同樣大小的豬圈，并在如圖所示的5處各留1.5m寬的門，已知現有的材料共可修建長為41m的墻體，則能修建的4個豬圈的最大面積為　　　　　　．

20．（衡水中考數學）某圓錐的側面展開圖是一個半徑為4cm的半圓，則該圓錐的底面半徑為　　　　　　．

三、解答題（本大題共6個小題，共66分）

21．按要求完成下列各小題．

（1）計算：tan230°+tan60°﹣sin245°；

（2）請你畫出如圖所示的幾何體的三視圖．

22．如圖，正方形ABCD在平面直角坐標系中，且AD∥x軸，點A的坐標為（﹣4，1），點D的坐標為（0，1），點B，P都在反比例函數y=的圖象上，且P時動點，連接OP，CP．

（1）求反比例函數y=的函數表達式；

（2）當點P的縱坐標為時，判斷△OCP的面積與正方形ABCD的面積的大小關系．

23．現有甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中裝有3個完全相同的小球，分別標有數字﹣1，2，5，；乙袋中裝有3個完全相同的小球，分別標有數字3，﹣5，﹣7；小宇從甲袋中隨機摸出一個小球，記下數字為m，小惠從乙袋中隨機摸出一個小球，記下的數字為n．

（1）若點Q的坐標為（m，n），求點Q在第四象限的概率；

（2）已知關于x的一元二次方程2x2+mx+n=0，求該方程有實數根的概率．

24．如圖，已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，OD∥BC，交⊙O于點D，交AC于點E，連接BD，BD交AC于點F，延長AC到點P，連接PB．

（1）若PF=PB，求證：PB是⊙O的切線；

（2）如果AB=10，cos∠ABC=，求CE的長度．

25．已知在△ABC中，∠BAC=90°，過點C的直線EF∥AB，D是BC上一點，連接AD，過點D分別作GD⊥AD，HD⊥BC，交EF和AC于點G，H，連接AG．

（1）當∠ACB=30°時，如圖1所示．

①求證：△GCD∽△AHD；

②試判斷AD與DG之間的數量關系，并說明理由；

（2）當tan∠ACB=時，如圖2所示，請你直接寫出AD與DG之間的數量關系．

26．如圖，拋物線y=ax2+2x﹣6與x軸交于點A（﹣6，0），B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線BD與拋物線交于點D，點D與點C關于該拋物線的對稱軸對稱．

（1）連接CD，求拋物線的表達式和線段CD的長度；

（2）在線段BD下方的拋物線上有一點P，過點P作PM∥x軸，PN∥y軸，分別交BD于點M，N．當△MPN的面積最大時，求點P的坐標．

衡水中考數學參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共16個小題，1-10題每個小題3分，11-16題，每個小題2分，共42分）

1．10月26日，眉山市2東坡區實驗中學全體師生在操場隆重集會，舉行“2015年讀書月活動”．張萌調查了她所在班級5名同學一周內的累計讀書時間，分別為：40分鐘、45分鐘、50分鐘、40分鐘、60分鐘，則該組數據的平均數、中位數分別是（　　）

A．47，45????????????? B．45，45????????????? C．40，45????????????? D．47，45

【考點】中位數；算術平均數．

【分析】根據中位數和平均數的概念求解．

【解答】解：這組數據按照從小到大的順序排列為：40，40，45，50，60，

則平均數為： =47，

中位數為：45．

故選A．

2．某樹苗培育基地培育了1000棵銀杏樹苗，為了解樹苗的長勢，測量了6棵樹苗的高（單位：cm），其分別為51，48，51，49，52，49，則這1000棵樹苗的方差的估計值為（　　）

A．1????????????? B．1.5????????????? C．2????????????? D．3

【考點】方差．

【分析】先求出這組數據的平均數，再根據方差公式即可得出答案．

【解答】解：平均數為：（51+48+51+49+52+49）÷6=50，

所以方差為： =2，

故選C

3（衡水中考數學）．將方程3x2﹣x=﹣2（x+1）2化成一般形式后，一次項系數為（　　）

A．﹣5????????????? B．5????????????? C．﹣3????????????? D．3

【考點】一元二次方程的一般形式．

【分析】根據完全平方公式和移項、合并同類項的法則把原方程變形，根據一元二次方程的一般形式解答即可．

【解答】解：方程3x2﹣x=﹣2（x+1）2變形為5x2+3x+2=0，

則一次項系數為3，

故選：D．

4．芳芳有一個無蓋的收納箱，該收納箱展開后的圖形（實線部分）如圖所示，將該圖形補充四個邊長為10cm的小正方形后，得到一個矩形，已知矩形的面積為2000cm2，根據圖中信息，可得x的值為（　　）

A．10????????????? B．20????????????? C．25????????????? D．30

【考點】一元二次方程的應用．

【分析】根據矩形的面積公式列出關于x的一元二次方程，通過解方程即可求得x的值．

【解答】解：依題意得：（x+10+20）（x+10+10）=2000，

解得x=20．

故選：B．

5．如圖，已知△ABC與△DEF分別是等邊三角形和等腰直角三角形，AD與FC分別是△ABC和△DEF的高，AC與DF交于點G，BC，DE在同一條直線上，則下列說法不正確的是（　　）

A．△AGD∽△CGF????????????? B．△AGD∽△DGC

C． =3????????????? D． =

【考點】相似三角形的判定與性質．

【分析】設AB=BC=AC=2a，根據等邊三角形的性質得出AD⊥BC，BD=DC=a，由勾股定理求出AD=a，根據△DEF是等腰直角三角形的性質得出FC⊥DE，DC=CE=DF=a，求出AD∥FC，推出△AGD∽△CGF，再逐個判斷即可．

【解答】（衡水中考數學）解：A、設AB=BC=AC=2a，

∵三角形ABC是等邊三角形，AD是高，

∴AD⊥BC，BD=DC=a，

由勾股定理得：AD==a，

∵△DEF是等腰直角三角形，FC是高，

∴FC⊥DE，DC=CE=DF=a，

∴AD∥FC，

∴△AGD∽△CGF，故本選項錯誤；

B、不能推出△AGD∽△DGC，故本選項正確；

C、∵△AGD∽△CGF，AD=a，FC=a，

∴=（）2=3，故本選項錯誤；

D、∵△AGD∽△CGF，AD=a，FC=a，

∴==，故本選項錯誤；

故選B．

6．如圖，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐標系中，點B，F的坐標分別為（﹣4，4），（2，1）．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似圖形，點P（點P在GC上）是位似中心，則點P的坐標為（　　）

A．（0，3）????????????? B．（0，2.5）????????????? C．（0，2）????????????? D．（0，1.5）

【考點】位似變換；坐標與圖形性質．

【分析】連接BF交y軸于P，根據題意求出CG，根據相似三角形的性質求出GP，求出點P的坐標．

【解答】解：連接BF交y軸于P，

∵四邊形ABCD和四邊形EFGO是矩形，點B，F的坐標分別為（﹣4，4），（2，1），

∴點C的坐標為（0，4），點G的坐標為（0，1），

∴CG=3，

∵BC∥GF，

∴==，

∴GP=1，PC=2，

∴點P的坐標為（0，2），

故選：C．

7．（衡水中考數學）如圖，已知“人字梯”的5個踩檔把梯子等分成6份，從上往下的第二個踩檔與第三個踩檔的正中間處有一條60cm長的綁繩EF，tanα=，則“人字梯”的頂端離地面的高度AD是（　　）

A．144cm????????????? B．180cm????????????? C．240cm????????????? D．360cm

【考點】解直角三角形的應用．

【分析】根據題意可知：△AEO∽△ABD，從而可求得BD的長，然后根據銳角三角函數的定義可求得AD的長．

【解答】解：如圖：

根據題意可知：△AFO∽△ACD，OF=EF=30cm

∴，

∴

∴CD=72cm，

∵tanα=

∴

∴AD==180cm．

故選：B．

8．若點M（﹣3，a），N（4，﹣6）在同一個反比例函數的圖象上，則a的值為（　　）

A．8????????????? B．﹣8????????????? C．﹣7????????????? D．5

【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征．

【分析】（衡水中考數學）設反比例函數解析式為y=，根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到k=﹣3a=4×（﹣6），然后解關于a的方程即可．

【解答】解：設反比例函數解析式為y=，根據題意得k═﹣3a=4×（﹣6），

解得a=8．

故選A．

9．如圖，在正方形ABCD中，AB=2，連接AC，以點C為圓心、AC長為半徑畫弧，點E在BC的延長線上，則陰影部分的面積為（　　）

A．6π﹣4????????????? B．6π﹣8????????????? C．8π﹣4????????????? D．8π﹣8

【考點】扇形面積的計算．

【分析】先根據勾股定理求出AC的長，再由正方形的性質得出∠ACD=45°，根據S陰影=S扇形ACE﹣S△ACD即可得出結論．

【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB=2，

∴AC==4，∠ACD=45°．

∵點E在BC的延長線上，

∴∠DCE=90°，

∴∠ACE=45°+90°=135°，

∴S陰影=S扇形ACE﹣S△ACD=﹣×2×2=6π﹣4．

故選A．

10．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=25°，∠C=90°，∠ADC=115°，O為AB的中點，以點O為圓心、AO長為半徑作圓，恰好使得點D在⊙O上，連接OD，若∠EAD=25°，下列說法中不正確的是（　　）

A．D是劣弧的中點????????????? B．CD是⊙O的切線

C．AE∥OD????????????? D．∠OBC=120°

【考點】（衡水中考數學）切線的判定．

【分析】證出∠BAD=∠EAD，由圓周角定理得出，得出選項A正確；由等腰三角形的性質得出∠ADO=∠BAD=25°，求出∠ODC=∠ADC﹣∠ADO=90°，得出CD⊥OD，證出CD是⊙O的切線，選項B正確；由圓周角定理得出∠BOD=2∠BAD=50°，證出∠BOD=∠BAE，得出AE∥OD，選項C正確；由已知條件得出∠OBC=130°，得出選項D不正確；即可得出結論．

【解答】解：∵∠BAD=25°，∠EAD=25°，

∴∠BAD=∠EAD，

∴，

∴D是的中點，選項A正確；

∵OA=OD，

∴∠ADO=∠BAD=25°，

∴∠ODC=∠ADC﹣∠ADO=115°﹣25°=90°，

∴CD⊥OD，

∴CD是⊙O的切線，選項B正確；

∵∠BOD=2∠BAD=50°，∠BAE=25°+25°=50°，

∴∠BOD=∠BAE，

∴AE∥OD，選項C正確；

∵∠C=90°，

∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°≠120°，選項D不正確；

故選：D．

11．如果一種變換是將拋物線向右平移2個單位或向上平移1個單位，我們把這種變換稱為拋物線的簡單變換．已知拋物線經過兩次簡單變換后的一條拋物線是y=x2+1，則原拋物線的解析式不可能的是（　　）

A．y=x2﹣1????????????? B．y=x2+6x+5????????????? C．y=x2+4x+4????????????? D．y=x2+8x+17

【考點】二次函數圖象與幾何變換．

【分析】根據圖象左移加，右移減，圖象上移加，下移減，可得答案．

【解答】解：A、y=x2﹣1，先向上平移1個單位得到y=x2，再向上平移1個單位可以得到y=x2+1，故A正確；

B、y=x2+6x+5=（x+3）2﹣4，無法經兩次簡單變換得到y=x2+1，故B錯誤；

C、y=x2+4x+4=（x+2）2，先向右平移2個單位得到y=（x+2﹣2）2=x2，再向上平移1個單位得到y=x2+1，故C正確；

D、y=x2+8x+17=（x+4）2+1，先向右平移2個單位得到y=（x+4﹣2）2+1=（x+2）2+1，再向右平移2個單位得到y=x2+1，故D正確．

故選：B．

12．（衡水中考數學）已知關于x的方程ax2+bx+c=0（a＞0，b＞0）有兩個不相等的實數根，則拋物線y=ax2+bx+c的頂點在（　　）

A．第一象限????????????? B．第二象限????????????? C．第三象限????????????? D．第四象限

【考點】拋物線與x軸的交點．

【分析】由拋物線的解析式可求出頂點的橫縱坐標，結合已知條件即可判斷拋物線y=ax2+bx+c的頂點所在象限．

【解答】解：∵關于x的方程ax2+bx+c=0（a＞0，b＞0）有兩個不相等的實數根，

∴b2﹣4ac＞0，

即b2＞4ac，

∵頂點的橫坐標為﹣，縱坐標為，a＞0，b＞0，

∴﹣＜0，＜0，

∴拋物線y=ax2+bx+c的頂點在第三象限，

故選C．

13．現有五張分別畫有等邊三角形、平行四邊形、矩形、正五邊形和圓的五個圖形的卡片，它們的背面相同，小梅將它們的背面朝上，從中任意抽出一張，下列說法中正確的是（　　）

A．“抽出的圖形是中心對稱圖形”屬于必然事件

B．“抽出的圖形是六邊形”屬于隨機事件

C．抽出的圖形為四邊形的概率是

D．抽出的圖形為軸對稱圖形的概率是

【考點】概率公式；軸對稱圖形；中心對稱圖形；隨機事件．

【分析】由五張完全相同的卡片上分別畫有等邊三角形、平行四邊形、矩形、正五邊形和圓，其中抽出的圖形為四邊形的概率利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：等邊三角形、平行四邊形、矩形、正五邊形和圓中四邊形是平行四邊形、矩形，

所以抽出的圖形為四邊形的概率是，

故選C

14．2015年4月30日，蘇州吳江蠶種全部發放完畢，共計發放蠶種6460張（每張上的蠶卵有200粒左右），涉及6個鎮，各鎮隨即開始孵化蠶種，小李所記錄的蠶種孵化情況如表所示，則可以估計蠶種孵化成功的概率為（　　）

A．0.95????????????? B．0.9????????????? C．0.85????????????? D．0.8

【考點】利用頻率估計概率．

【分析】根據多次重復試驗中事件發生的頻率估計事件發生的概率即可．

【解答】解：∵，

∴蠶種孵化成功的頻率約為0.9，

∴估計蠶種孵化成功的概率約為0.9，

故選B

15．（衡水中考數學）下列圖形或幾何體中，投影可能是線段的是（　　）

A．正方形????????????? B．長方體????????????? C．圓錐????????????? D．圓柱

【考點】簡單幾何體的三視圖．

【分析】由于圖形的投影是一個線段，根據平行投影與中心投影的規則對四個選項中幾何體的投影情況進行分析找出正確選項．

【解答】解：A、正方形投影可能是線段，故選項正確；

B、長方體投影不可能是線段，故選項錯誤；

C、圓錐投影不可能是線段，故選項錯誤；

D、圓柱投影不可能是線段，故選項錯誤．

故選：A．

16．下列四個幾何體中，左視圖為圓的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】簡單幾何體的三視圖．

【分析】四個幾何體的左視圖：圓柱是矩形，圓錐是等腰三角形，球是圓，正方體是正方形，由此可確定答案．

【解答】解：因為圓柱的左視圖是矩形，圓錐的左視圖是等腰三角形，球的左視圖是圓，正方體的左視圖是正方形，

所以，左視圖是圓的幾何體是球．

故選：C

二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）

17．在力F（N）的作用下，物體會在力F的方向上發生位移s（m），力F所做的功W（J）滿足：W=Fs，當W為定值時，F=50N，s=40m，若F由50N減小25N時，并且在所做的功不變的情況下，s的值應　80　．

【考點】函數關系式．

【分析】根據功的公式，待定系數法，可得函數解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

【解答】解：由W=Fs，當W為定值時，F=50N，s=40m，得

W=50×40=2000，

當F=25時，s===80，

故答案為：80．

18．（衡水中考數學）現有一個正六邊形的紙片，該紙片的邊長為20cm，張萌想用一張圓形紙片將該正六邊形紙片完全覆蓋住，則圓形紙片的直徑不能小于　40　cm．

【考點】正多邊形和圓．

【分析】根據題意畫出圖形，再根據正多邊形圓心角的求法求出∠AOB的度數，最后根據等腰三角形及直角三角形的性質解答即可．

【解答】解：如圖所示，正六邊形的邊長為20cm，OG⊥BC，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

∴∠BOC==60°，

∵OB=OC，OG⊥BC，

∴∠BOG=∠COG==30°，

∵OG⊥BC，OB=OC，BC=20cm，

∴BG=BC=×20=10cm，

∴OB===20cm，

∴圓形紙片的直徑不能小于40cm；

故答案為：40．

19．小峰家要在一面長為38m的墻的一側修建4個同樣大小的豬圈，并在如圖所示的5處各留1.5m寬的門，已知現有的材料共可修建長為41m的墻體，則能修建的4個豬圈的最大面積為　　．

【考點】二次函數的應用．

【分析】設垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為41﹣5（x﹣1.5）=48.5﹣5x，表示出總面積S=x（48.5﹣5x）=﹣5x2+48.5x，即可求得面積的最值．

【解答】解：設垂直于墻的長為x米，

則平行于墻的長為41﹣5（x﹣1.5）=48.5﹣5x，

∵墻長為38米，

∴48.5﹣5x≤38，即x≥2.1，

∵總面積S=x（48.5﹣5x）

=﹣5x2+48.5x

∴當x=﹣=4.85米時，S最大值==（平方米），

故答案為：．

20．（衡水中考數學）某圓錐的側面展開圖是一個半徑為4cm的半圓，則該圓錐的底面半徑為　2cm　．

【考點】圓錐的計算．

【分析】首先求得圓錐的側面展開圖的弧長，即圓錐的底面周長，然后根據圓周長公式即可求解半徑．

【解答】解：圓錐的側面展開圖的弧長是：4πcm，設圓錐的底面半徑是r，則2πr=4π，

解得：r=2cm．

則底面圓的半徑為2cm．

故答案是：2cm．

三、解答題（本大題共6個小題，共66分）

21．按要求完成下列各小題．

（1）計算：tan230°+tan60°﹣sin245°；

（2）請你畫出如圖所示的幾何體的三視圖．

【考點】作圖-三視圖；特殊角的三角函數值．

【分析】（1）首先計算特殊角的三角函數，然后再計算實數的運算即可；

（2）分別利用幾何體的組成結合三視圖的畫法得出不同角度觀察得到三視圖．

【解答】解：（1）tan230°+tan60°﹣sin245°，

=（）2+×﹣（）2，

=+3﹣，

=；

（2）如圖所示．

22．（衡水中考數學）如圖，正方形ABCD在平面直角坐標系中，且AD∥x軸，點A的坐標為（﹣4，1），點D的坐標為（0，1），點B，P都在反比例函數y=的圖象上，且P時動點，連接OP，CP．

（1）求反比例函數y=的函數表達式；

（2）當點P的縱坐標為時，判斷△OCP的面積與正方形ABCD的面積的大小關系．

【考點】反比例函數與一次函數的交點問題；待定系數法求反比例函數解析式；正方形的性質．

【分析】（1）只需根據條件求出點B的坐標，然后運用待定系數法就可解決問題；

（2）易求出OC的長，然后只需根據條件求出點P的橫坐標，就可求出△OCP的面積，然后再求出正方形ABCD的面積，就可解決問題．

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，A（﹣4，1），D（0，1），

∴OD=1，BC=DC=AD=4，

∴OC=3，

∴點B的坐標為（﹣4，﹣3）．

∵點B在反比例函數y=的圖象上，

∴k=﹣4×（﹣3）=12，

∴反比例函數的表達式為y=；

（2）∵點P在反比例函數y=的圖象上，點P的縱坐標為，

∴點P的橫坐標為，

∴S△OCP=×3×=16．

∵S正方形ABCD=16，

∴△OCP的面積與正方形ABCD的面積相等．

23．（衡水中考數學）現有甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中裝有3個完全相同的小球，分別標有數字﹣1，2，5，；乙袋中裝有3個完全相同的小球，分別標有數字3，﹣5，﹣7；小宇從甲袋中隨機摸出一個小球，記下數字為m，小惠從乙袋中隨機摸出一個小球，記下的數字為n．

（1）若點Q的坐標為（m，n），求點Q在第四象限的概率；

（2）已知關于x的一元二次方程2x2+mx+n=0，求該方程有實數根的概率．

【考點】列表法與樹狀圖法；根的判別式．

【分析】（1）首先根據題意列表，然后根據表格求得所有等可能的結果與摸出的兩個球上數字橫坐標大于0，縱坐標小于0的可能情況，再利用概率公式求解即可；

（2）若一元二次方程2x2+mx+n=0，則其跟的判別式大于等于0，進而可求出該方程有實數根的概率．

【解答】解：（1）

由表可知所有可能情況有9種，其中兩個球上數字橫坐標大于0，縱坐標小于0的可能情況有4種，所以點Q在第四象限的概率概率=；

（2）∵關于x的一元二次方程2x2+mx+n=0方程有實數根，

∴△≥0，

即m2﹣8n≥0，

∴m2≥8n，

由（1）可知滿足條件的m，n組合共7對，

∴該方程有實數根的概率=．

24．如圖，已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，OD∥BC，交⊙O于點D，交AC于點E，連接BD，BD交AC于點F，延長AC到點P，連接PB．

（1）若PF=PB，求證：PB是⊙O的切線；

（2）如果AB=10，cos∠ABC=，求CE的長度．

【考點】切線的判定．

【分析】（衡水中考數學）（1）欲證明PB是⊙O的切線，只需推知∠ABP=90°即可；

（2）通過解直角三角形得到AC=8，易得OD垂直平分AC．則CE=AC=3．

【解答】（1）證明：如圖，∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB．

又∵OD∥BC，

∴∠CBD=∠ODB．

∴∠CBD=∠OBD．

∵PF=PB，

∴∠PFB=∠PBF，

又∵AB是圓O的直徑，

∴∠ACB=90°，即∠BCF=90°，

∴∠PFB+∠CBD=90°，

∴∠PBF+∠OBD=90°．

又∵AB是直徑，

∴PB是⊙O的切線；

（2）解：∵AB=10，cos∠ABC=，∠ACB=90°，

∴=，即=，

則AC=6．

又∵OD∥BC，點O是AB的中點，

∴OD垂直平分AC．則CE=AC=3．

25．（衡水中考數學）已知在△ABC中，∠BAC=90°，過點C的直線EF∥AB，D是BC上一點，連接AD，過點D分別作GD⊥AD，HD⊥BC，交EF和AC于點G，H，連接AG．

（1）當∠ACB=30°時，如圖1所示．

①求證：△GCD∽△AHD；

②試判斷AD與DG之間的數量關系，并說明理由；

（2）當tan∠ACB=時，如圖2所示，請你直接寫出AD與DG之間的數量關系．

【考點】相似形綜合題．

【分析】（1）①根據平行線的性質得到∠GCM=∠BAC=90°，根據垂直的定義得到∠ADM=90°，于是求得∠GCA=∠ADM，推出∠DAH=∠∠CGD，根據相似三角形的判定定理即可得到結論；

②根據相似三角形的性質得到，根據三角函數的定義即可得到結論；

（2）根據相似三角形的性質得到，根據tan∠ACB=，即可得到結論．

【解答】（1）①證明：∵∠BAC=90°，EF∥AB，

∴∠GCM=∠BAC=90°，

∵GD⊥AD，

∴∠ADM=90°，

∴∠GCA=∠ADM，

∵∠AND=∠GMC，

∴DAH=∠∠CGD，

∵∠ADH=∠CDG=90°﹣∠HDG

∴△GCD∽△AHD；

②解：由①知：△GCD∽△AHD，

∴，

在Rt△DHC中，

∵∠ACB=30°，

=tan30°=，

∴=；

（2）5AD=4DG，

解：由①知△GCD∽△AHD，

在Rt△DHC中，

∵tan∠ACB=，

∴=．

26．（衡水中考數學）如圖，拋物線y=ax2+2x﹣6與x軸交于點A（﹣6，0），B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線BD與拋物線交于點D，點D與點C關于該拋物線的對稱軸對稱．

（1）連接CD，求拋物線的表達式和線段CD的長度；

（2）在線段BD下方的拋物線上有一點P，過點P作PM∥x軸，PN∥y軸，分別交BD于點M，N．當△MPN的面積最大時，求點P的坐標．

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式；根據自變量與函數值的對應關系，可得C、D點坐標，根據平行于x軸直線上兩點間的距離是較大的小橫坐標減較的橫坐標，可得答案；

（2）根據待定系數法，可得BD的解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得E點坐標，根據等腰三角形的性質，可得∠OBE=∠OEB=45°，根據平行線的性質，可得∠PMN=∠PNM=45°，根據直角三角形的判定，可得∠P，根據三角形的面積公式，根據二次函數的性質，可得a的值，再根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

【解答】解：（1）將A點坐標代入函數解析式，得

36a﹣12﹣6=0．

解得a=，

拋物線的解析式為y=x2+2x﹣6；

當x=0時y=﹣6．即C（0，﹣6）．

當y=﹣6時，﹣6=x2+2x﹣6，

解得x=0（舍），x=﹣4，即D（﹣4，﹣6）．

CD=0﹣（﹣4）=4，

線段CD的長為4；

（2）（衡水中考數學）如圖，

當y=0時， x2+2x﹣6=0．解得x=﹣6（不符合題意，舍）或x=2．

即B（2，0）．

設BD的解析式為y=kx+b，將B、D點坐標代入函數解析式，得

，

解得，

BD的解析式為y=x﹣2，

當x=0時，y=﹣2，即E（0，﹣2）．

OB=OE=2，∠BOE=90°

∠OBE=∠OEB=45°．

∵點P作PM∥x軸，PN∥y軸，

∴∠PMN=∠PNM=45°，∠NPM=90°．

∵N在BD上，設N（a，a﹣2）；P在拋物線上，設P（a， a2+2a﹣6）．

PN=a﹣2﹣（a2+2a﹣6）=﹣a2﹣a+4=﹣（a+1）2+，

S=PN2= [﹣（a+1）2+]2，

當a=﹣1時，S最大=×（）2=，

a=﹣1， a2+2a﹣6=﹣，

點P的坐標為（﹣1，﹣）．

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