2018保定市中考數學壓軸試題【解析版含答案】

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2018保定市中考數學壓軸試題　

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

1．的相反數是（　　）

A．3????????????? B．﹣3????????????? C．????????????? D．﹣

2．下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

3．下列計算正確的是（　　）

A． =﹣4????????????? B．（a2）3=a5????????????? C．a?a3=a4????????????? D．2a﹣a=2

4．雄縣有“中國溫泉之鄉”的稱號，位于北京、天津、保定三角腹地，處在華北平原牛駝鎮地脈最佳部位，地熱資源豐富．全縣約六成面積蘊藏地熱資源，地熱水儲量約821億立方米，821億用科學記數法表示為（　　）

A．821×108????????????? B．8.21×109????????????? C．8.21×1010????????????? D．0.821×1011

5．如表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數與方差：

根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇（　　）

A．甲????????????? B．乙????????????? C．丙????????????? D．丁

6．（保定中考數學）如圖是由五個相同的小立方塊搭成的幾何體，則它的俯視圖是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

7．如圖，直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以OA為邊在x軸的下方作等邊三角形OAC，將點C向上平移m個單位長度，使其對應點C′恰好落在直線AB上，則m=（　　）

A．2﹣????????????? B．2+????????????? C．4﹣????????????? D．4

8．如圖，在半徑為的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=4，則OP的長為（　　）

A．1????????????? B．????????????? C．2????????????? D．2

9．（保定中考數學）有三個除顏色不同外其他完全相同的球，分別標上數字﹣1，1，0，放入暗箱，然后從暗箱中隨機摸出兩個球，則兩個球上數字互為相反數的概率為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

10．如圖，把邊長為2的正方形紙片ABCD先對折一次再展開，折痕為MN，然后再沿過點B的線段折疊，使得點A落在MN上的點F處，折痕交AN于點E，則NF的長為（　　）

A．2????????????? B．2﹣????????????? C．﹣1????????????? D．1

二、填空題（本大題有8個小題，每小題3分；共24分）

11．分解因式：m（a+2）2﹣2m（a+2）+m=　?? 　．

12．擲一枚質地均勻的正方體骰子（六個面上分別刻有1到6的點數），向上一面出現的點數大于2且小于5的概率為　?? 　．

13．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一個解，且a≠﹣b，則的值為　?? 　．

14．如圖，菱形ABCD的邊長為15，sin∠BAC=，則對角線AC的長為　?? 　．

15．如圖所示，一個寬為2cm的刻度尺在圓形光盤上移動，當刻度尺的一邊與光盤相切時，另一邊與光盤邊緣兩個交點處的讀數恰好是“2”和“10”（單位：cm），那么該光盤的直徑是　?? 　cm．

16（保定中考數學）．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中，函數值y與自變量x的部分對應值如下表：

則關于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是　?? 　．

17．如圖，將邊長為12的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，當兩個三角形重疊部分的面積為32時，它移動的距離AA′等于　?? 　．

18．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2交x軸于點A，交y軸于點A1，若圖中陰影部分的三角形都是等腰直角三角形，則從左往右第4個陰影三角形的面積是　?? 　，第2017個陰影三角形的面積是　?? 　．

三、解答題（本大題有8個小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19．（1）解方程：2x2﹣5x+3=0；

（2）化簡（﹣x+1）÷．

20．.先化簡，再求值：（ +）÷，其中a=2017，b=．

21．如圖，已知在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，連接BD，BD=DC，E是BC的中點，連接DE并延長，與AB的延長線交于點F．

（1）求證：△DCE≌△FBE；

（2）若∠C=60°，指出圖中與DE相等的線段，并說明理由．

22．（保定中考數學）連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段稱為多邊形的對角線．

（1）

對角線條數分別為　?? 　、　?? 　、　?? 　、　?? 　．

（2）n邊形可以有20條對角線嗎？如果可以，求邊數n的值；如果不可以，請說明理由．

（3）若一個n邊形的內角和為1800°，求它對角線的條數．

23．在2017迎新春漢字聽寫大會上，石家莊市中學生表現優秀，成績都達到了60分（包含60分）以上，為了了解各個分數段的分布情況．隨機抽取了200名學生的成績進行統計（成績都為整數，且滿分是100分），經過整理，得到兩幅不完整的統計圖表（如圖）．

（1）在頻數分布表中，m=　?? 　，n=　?? 　．

（2）請補全圖中的頻數分布直方圖；

（3）按規定，成績在80分以上（包括80分）的選手進入決賽．若我市有2000人參與了此項活動，請你估計約有多少人進入決賽？

24．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線OB，AC相交于點D，且BE∥AC，AE∥OB，

（1）求證：四邊形AEBD是菱形；

（2）如果OA=3，OC=2，求出經過點E的反比例函數解析式．

25．（保定中考數學）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為P，BP：PA=1：3，CD=2．

（1）求⊙O的半徑；

（2）以CD為邊作正方形CDEF，以C為圓心，CF的長為半徑畫弧交CB的延長線于點M，CB的延長線交DE于點N．

①求陰影部分的面積；

②連接OD，請猜想四邊形OBND的形狀，并證明你的猜想；

③若正方形CDEF繞著點O旋轉一周，求邊EF掃過的面積．

26．如圖，拋物線y=ax2+bx+c過A（0，4），B（4，0），C（2，4）三點，與x軸另一交點記作D，直線y=kx+n過C、D兩點．

（1）求拋物線與直線CD的解析式；

（2）在拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸上是否存在一點P，使得PA+PD最小，若存在，請寫出點P的坐標，并求出PA+PD的最小值；若不存在，請說明理由；

（3）若點E為拋物線y=ax2+bx+c的頂點，連接EC、ED，則在直線y=kx+n的上方的拋物線上是否存在一點M，使得S△MCD=S△DEC，若存在，直接寫出M的坐標；若不存在，請說明理由．

保定中考數學參考答案與試題解析

一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）

1．的相反數是（　　）

A．3????????????? B．﹣3????????????? C．????????????? D．﹣

【考點】28：實數的性質．

【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數，可得答案．

【解答】解：的相反數是﹣，

故選：D．

2．下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】R5：中心對稱圖形；P3：軸對稱圖形．

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．

【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；

B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；

D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．

故選B．

3．下列計算正確的是（　　）

A． =﹣4????????????? B．（a2）3=a5????????????? C．a?a3=a4????????????? D．2a﹣a=2

【考點】47：冪的乘方與積的乘方；22：算術平方根；35：合并同類項；46：同底數冪的乘法．

【分析】根據=|a|；冪的乘方法則：底數不變，指數相乘；同底數冪的乘法法則：同底數冪相乘，底數不變，指數相加；合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變分別進行分析即可．

【解答】解：A、=4，故原題計算錯誤；

B、（a2）3=a6，故原題計算錯誤；

C、a?a3=a4，故原題計算正確；

D、2a﹣a=a，故原題計算錯誤；

故選：C．

4．雄縣有“中國溫泉之鄉”的稱號，位于北京、天津、保定三角腹地，處在華北平原牛駝鎮地脈最佳部位，地熱資源豐富．全縣約六成面積蘊藏地熱資源，地熱水儲量約821億立方米，821億用科學記數法表示為（　　）

A．821×108????????????? B．8.21×109????????????? C．8.21×1010????????????? D．0.821×1011

【考點】1I：科學記數法—表示較大的數．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：將821億用科學記數法表示為：8.21×1010．

故選C．

5．（保定中考數學）如表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數與方差：

根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇（　　）

A．甲????????????? B．乙????????????? C．丙????????????? D．丁

【考點】W7：方差；W1：算術平均數．

【分析】首先比較平均數，平均數相同時選擇方差較小的運動員參加．

【解答】解：∵ =＞=，

∴從甲和丙中選擇一人參加比賽，

∵=＜＜，

∴選擇甲參賽，

故選：A．

6．如圖是由五個相同的小立方塊搭成的幾何體，則它的俯視圖是（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】U2：簡單組合體的三視圖．

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在俯視圖中．

【解答】解：從上面看易得上面一層有3個正方形，下面中間有一個正方形．

故選A．

7．如圖，直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以OA為邊在x軸的下方作等邊三角形OAC，將點C向上平移m個單位長度，使其對應點C′恰好落在直線AB上，則m=（　　）

A．2﹣????????????? B．2+????????????? C．4﹣????????????? D．4

【考點】（保定中考數學）F8：一次函數圖象上點的坐標特征；KK：等邊三角形的性質；Q3：坐標與圖形變化﹣平移．

【分析】由一次函數圖象上點的坐標特征可求出點A的坐標，結合等邊三角形的性質即可得出點C的坐標，再將點C的橫坐標代入直線AB中可求出點C′的坐標，由點C、C′的坐標可得出m的值．

【解答】解：當y=2x+4=0時，x=﹣2，

∴點A的坐標為（﹣2，0）．

∵△OAC為以OA為邊的等邊三角形，

∴點C的坐標為（﹣1，﹣）．

當x=﹣1時，y=2x+4=2，

∴點C′的坐標為（﹣1，2），

∴m=2﹣（﹣）=2+．

故選B．

8．如圖，在半徑為的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=4，則OP的長為（　　）

A．1????????????? B．????????????? C．2????????????? D．2

【考點】M2：垂徑定理；KQ：勾股定理．

【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結OD、OB，如圖，根據垂徑定理得到AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2，根據勾股定理在Rt△OBE中計算出OE=1，同理可得OF=1，接著證明四邊形OEPF為正方形，于是得到OP=OE=．

【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，連結OD、OB，如圖，

則AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2，

在Rt△OBE中，∵OB=，BE=2，

∴OE==1，

同理可得OF=1，

∵AB⊥CD，

∴四邊形OEPF為矩形，

而OE=OF=1，

∴四邊形OEPF為正方形，

∴OP=OE=．

故選B．

9．有三個除顏色不同外其他完全相同的球，分別標上數字﹣1，1，0，放入暗箱，然后從暗箱中隨機摸出兩個球，則兩個球上數字互為相反數的概率為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】X6：列表法與樹狀圖法；14：相反數．

【分析】先列表展示所有3種等可能的結果數，再找出兩個之和為0的可能數，然后根據概率公式計算．

【解答】解：列表如下：（兩個數和的情形）

一共有3種可能，和為0的只有一種可能，

∴兩個球上數字互為相反數的概率=，

故選B．

10．（保定中考數學）如圖，把邊長為2的正方形紙片ABCD先對折一次再展開，折痕為MN，然后再沿過點B的線段折疊，使得點A落在MN上的點F處，折痕交AN于點E，則NF的長為（　　）

A．2????????????? B．2﹣????????????? C．﹣1????????????? D．1

【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；LE：正方形的性質．

【分析】先根據折疊的性質以及勾股定理，求得MF的長，再根據MN的長，即可得到NF的長．

【解答】解：由折疊可得，BF=BA=2，BM=BC=1，∠BMN=90°，

∴Rt△BFM中，MF===，

又∵MN=AB=2，

∴NF=MN﹣MF=2﹣，

故選：B．

二、填空題（本大題有8個小題，每小題3分；共24分）

11．分解因式：m（a+2）2﹣2m（a+2）+m=　m（a+1）2　．

【考點】55：提公因式法與公式法的綜合運用．

【分析】根據提公因式法和完全平方公式可以解答本題．

【解答】解：m（a+2）2﹣2m（a+2）+m

=m[（a+2）2﹣2（a+2）+1]

=m[（a+2）﹣1]2，

=m（a+1）2

故答案為：m（a+1）2．

12．擲一枚質地均勻的正方體骰子（六個面上分別刻有1到6的點數），向上一面出現的點數大于2且小于5的概率為　　．

【考點】X4：概率公式．

【分析】向上一面出現的點數大于2且小于5的共2種情況．

【解答】解：擲一枚均勻的骰子時，有6種情況，出現點數大于2且小于5的情況有2種，

故其概率是=，

故答案為：．

13．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一個解，且a≠﹣b，則的值為　5　．

【考點】A3：一元二次方程的解．

【分析】方程的解是使方程左右兩邊成立的未知數的值．同時注意根據分式的基本性質化簡分式．

【解答】解：∵x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一個解，

∴a﹣b﹣10=0，

∴a﹣b=10．

∵a≠﹣b，

∴a+b≠0，

∴====5，

故答案是：5．

14．（保定中考數學）如圖，菱形ABCD的邊長為15，sin∠BAC=，則對角線AC的長為　24　．

【考點】L8：菱形的性質；T7：解直角三角形．

【分析】連接BD，交AC與點O，首先根據菱形的性質可知AC⊥BD，解三角形求出BO的長，利用勾股定理求出AO的長，即可求出AC的長．

【解答】解：連接BD，交AC與點O，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

在Rt△AOB中，

∵AB=15，sin∠BAC=，

∴sin∠BAC==，

∴BO=9，

∴AB2=OB2+AO2，

∴AO===12，

∴AC=2AO=24，

故答案為24．

15．如圖所示，一個寬為2cm的刻度尺在圓形光盤上移動，當刻度尺的一邊與光盤相切時，另一邊與光盤邊緣兩個交點處的讀數恰好是“2”和“10”（單位：cm），那么該光盤的直徑是　10　cm．

【考點】MC：切線的性質；KQ：勾股定理；M2：垂徑定理．

【分析】本題先根據垂徑定理構造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦長和弓形高，根據勾股定理求出半徑，從而得解．

【解答】解：如圖，設圓心為O，弦為AB，切點為C．如圖所示．則AB=8cm，CD=2cm．

連接OC，交AB于D點．連接OA．

∵尺的對邊平行，光盤與外邊緣相切，

∴OC⊥AB．

∴AD=4cm．

設半徑為Rcm，則R2=42+（R﹣2）2，

解得R=5，

∴該光盤的直徑是10cm．

故答案為：10

16．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中，函數值y與自變量x的部分對應值如下表：

則關于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣2的根是　x1=﹣4，x2=0　．

【考點】HA：拋物線與x軸的交點．

【分析】根據圖表求出函數對稱軸，再根據圖表信息和二次函數的對稱性求出y值等于﹣2的自變量x的值即可．

【解答】解：∵x=﹣3，x=﹣1的函數值都是﹣5，相等，

∴二次函數的對稱軸為直線x=﹣2，

∵x=﹣4時，y=﹣2，

∴x=0時，y=﹣2，

∴方程ax2+bx+c=3的解是x1=﹣4，x2=0．

故答案為：x1=﹣4，x2=0．

17．如圖，將邊長為12的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，當兩個三角形重疊部分的面積為32時，它移動的距離AA′等于　4或8　．

【考點】Q2：平移的性質；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；L7：平行四邊形的判定與性質；LE：正方形的性質．

【分析】根據平移的性質，結合陰影部分是平行四邊形，△AA′H與△HCB′都是等腰直角三角形，則若設AA′=x，則陰影部分的底長為x，高A′D=12﹣x，根據平行四邊形的面積公式即可列出方程求解．

【解答】解：設AC交A′B′于H，

∵A′H∥CD，AC∥CA′，

∴四邊形A′HCD是平行四邊形，

∵∠A=45°，∠D=90°

∴△A′HA是等腰直角三角形

設AA′=x，則陰影部分的底長為x，高A′D=12﹣x

∴x?（12﹣x）=32

∴x=4或8，

即AA′=4或8cm．

故答案為：4或8．

18．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2交x軸于點A，交y軸于點A1，若圖中陰影部分的三角形都是等腰直角三角形，則從左往右第4個陰影三角形的面積是　128　，第2017個陰影三角形的面積是　24033　．

【考點】F8：一次函數圖象上點的坐標特征；KW：等腰直角三角形．

【分析】根據一次函數圖象上點的坐標特征結合等腰直角三角形的性質，即可得出OA1、A2B1、A3B2、A4B3的值，根據邊的長度的變化即可找出變化規律“An+1Bn=BnBn+1=2n+1”，再根據三角形的面積即可得出Sn+1=×（2n+1）2=22n+1，分別代入n=3、2016即可求出結論．

【解答】解：當x=0時，y=x+2=2，

∴OA1=OB1=2；

當x=2時，y=x+2=4，

∴A2B1=B1B2=4；

當x=2+4=6時，y=x+2=8，

∴A3B2=B2B3=8；

當x=6+8=14時，y=x+2=16，

∴A4B3=B3B4=16．

∴An+1Bn=BnBn+1=2n+1，

∴Sn+1=×（2n+1）2=22n+1．

當n=3時，S4=22×3+1=128；當n=2016時，S2017=22×2016+1=24033．

故答案為：128；

三、解答題（本大題有8個小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

19．（保定中考數學）（1）解方程：2x2﹣5x+3=0；

（2）化簡（﹣x+1）÷．

【考點】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；6C：分式的混合運算．

【分析】（1）利用因式分解法解方程；

（2）先把括號內通分，再把分子分母因式分解和除法運算化為乘法運算，然后約分即可．

【解答】解：（1）（2x﹣3）（x﹣1）=0，

2x﹣3=0或x﹣1=0，

所以x1=，x2=1；

（2）原式=?

=?

=﹣．

20．.先化簡，再求值：（ +）÷，其中a=2017，b=．

【考點】6D：分式的化簡求值．

【分析】根據分式的加法和除法可以化簡題目中的式子，然后將a、b的值代入即可解答本題．

【解答】解：（ +）÷

=

=

=2b，

當a=2017，b=時，原式=2．

21．（保定中考數學）如圖，已知在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，連接BD，BD=DC，E是BC的中點，連接DE并延長，與AB的延長線交于點F．

（1）求證：△DCE≌△FBE；

（2）若∠C=60°，指出圖中與DE相等的線段，并說明理由．

【考點】KD：全等三角形的判定與性質；KP：直角三角形斜邊上的中線．

【分析】（1）由AS證明△DCE≌△FBE即可；

（2）由全等三角形的性質得出FE=DE；證明△BCD是等邊三角形，得出∠DBC=∠BDC=60°，證出∠ABD=∠DBC，DE⊥BC，由角平分線的性質即可得出DA=DE∴DA=DE．

【解答】（1）證明：∵E是BC的中點，

∴CE=BE，

∵AB∥CD，

∴∠C=∠EBF，

在△DCE和△FBE中，，

∴△DCE≌△FBE（ASA）；

（2）解：圖中與DE相等的線段是FE、DA；理由如下：

∵△DCE≌△FBE，

∴DE=FE，

∵BD=CD，∠C=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠DBC=∠BDC=60°，

∵AB∥CD，AD⊥CD，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADB=30°，

∴∠ABD=60°=∠DBC，

∵E是BC的中點，

∴DE⊥BC，

∴DA=DE．

22．連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段稱為多邊形的對角線．

（1）

對角線條數分別為　2　、　5　、　9　、　　．

（2）n邊形可以有20條對角線嗎？如果可以，求邊數n的值；如果不可以，請說明理由．

（3）若一個n邊形的內角和為1800°，求它對角線的條數．

【考點】AD：一元二次方程的應用；L2：多邊形的對角線；L3：多邊形內角與外角．

【分析】（1）設n邊形的對角線條數為an，根據多邊形對角線條數公式即可求出結論；

（2）假設可以，根據多邊形對角線條數公式，可得出關于n的一元二次方程，解之即可得出結論；

（3）根據多邊形內角和定理，可求出邊數，再套用多邊形對角線條數公式，即可得出結論．

【解答】解：（1）設n邊形的對角線條數為an，

則a4==2，a5==5，a6==9，…，an=．

故答案為：2；5；9；．

（2）假設可以，根據題意得：

=20，

解得：n=8或n=﹣5（舍去），

∴n邊形可以有20條對角線，此時邊數n為八．

（3）∵一個n邊形的內角和為1800°，

∴180°×（n﹣2）=1800°，

解得：n=12，

∴==60．

答：這個多邊形有60條對角線．

23．在2017迎新春漢字聽寫大會上，石家莊市中學生表現優秀，成績都達到了60分（包含60分）以上，為了了解各個分數段的分布情況．隨機抽取了200名學生的成績進行統計（成績都為整數，且滿分是100分），經過整理，得到兩幅不完整的統計圖表（如圖）．

（1）在頻數分布表中，m=　80　，n=　0.2　．

（2）請補全圖中的頻數分布直方圖；

（3）按規定，成績在80分以上（包括80分）的選手進入決賽．若我市有2000人參與了此項活動，請你估計約有多少人進入決賽？

【考點】V8：頻數（率）分布直方圖；V5：用樣本估計總體；V7：頻數（率）分布表．

【分析】1）用抽查的總人數乘以成績在70≤x＜80段的人數所占的百分比求出m；用成績在80≤x＜90段的頻數除以總人數即可求出n；

（2）根據（1）求出的m的值，直接補全頻數分布直方圖即可；

（3）用婁底市共有的人數乘以80分以上（包括80分）所占的百分比，即可得出答案．

【解答】解：（1）根據題意得：m=200×0.40=80（人），n=40÷200=0.20；

故答案為：80，0.20；

（2）

（3）根據題意得：

4000×（0.20+0.10）=1200（人）．

答：估計約有1200人進入決賽．

24．（保定中考數學）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線OB，AC相交于點D，且BE∥AC，AE∥OB，

（1）求證：四邊形AEBD是菱形；

（2）如果OA=3，OC=2，求出經過點E的反比例函數解析式．

【考點】GB：反比例函數綜合題．

【分析】（1）先證明四邊形AEBD是平行四邊形，再由矩形的性質得出DA=DB，即可證出四邊形AEBD是菱形；

（2）連接DE，交AB于F，由菱形的性質得出AB與DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出點E的坐標；設經過點E的反比例函數解析式為：y=，把點E坐標代入求出k的值即可．

【解答】（1）證明：∵BE∥AC，AE∥OB，

∴四邊形AEBD是平行四邊形，

∵四邊形OABC是矩形，

∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2，

∴DA=DB，

∴四邊形AEBD是菱形；

（2）解：連接DE，交AB于F，如圖所示：

∵四邊形AEBD是菱形，

∴AB與DE互相垂直平分，

∵OA=3，OC=2，

∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，

∴點E坐標為：（，1），

設經過點E的反比例函數解析式為：y=，

把點E（，1）代入得：k=，

∴經過點E的反比例函數解析式為：y=．

25．（保定中考數學）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為P，BP：PA=1：3，CD=2．

（1）求⊙O的半徑；

（2）以CD為邊作正方形CDEF，以C為圓心，CF的長為半徑畫弧交CB的延長線于點M，CB的延長線交DE于點N．

①求陰影部分的面積；

②連接OD，請猜想四邊形OBND的形狀，并證明你的猜想；

③若正方形CDEF繞著點O旋轉一周，求邊EF掃過的面積．

【考點】MR：圓的綜合題．

【分析】（1）先設出BP=x，進而表示出OP=x，在Rt△OPD中，利用勾股定理求出x即可得出結論；

（2）①先利用銳角三角函數求出∠PCB=30°，進而得出∠NCF=60°，再用扇形的面積公式即可；

②先判斷出OB∥DN，再利用三角形的中位線判斷出OB=DN，得出四邊形OBND是平行四邊形，最后用半徑相等得出四邊形OBND是菱形；

③先判斷出EF掃過的面積是圓環的面積，即可得出結論．

【解答】解：（1）設BP=x，

∵BP：AP=1：3，

∴AP=3x，

∴AB=AP+BP=4x，

∴OD=OB=2x，

∴OP=OB﹣PB=x，

∵CD⊥AB，

∴CP=DP=CD=，

在Rt△OPD中，根據勾股定理得，OP2+DP2=OD2，

∴x2+3=（2x）2，

∴x=﹣1（舍）或x=1，

∴⊙O的半徑為AB=2；

（2）①由（1）知PB=x=1，CP=，

在Rt△BPC中，tan∠PCB===，

∴∠PCB=30°，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴CF=CD=2，∠DCF=90°，

∴∠NCF=90°﹣30°=60°，

∴S陰影部分=S扇形NCF==2π；

②四邊形OBND是菱形，

理由：∵四邊形CDEF是正方形，

∴∠CDE=90°=∠CPB，

∴OB∥DN，

由（1）知，CP=DP，

∴DN=2PB=OB，

∴四邊形OBND是平行四邊形，

∵OB=OD，

∴?OBND是菱形；

③如圖，

連接OF，延長AB交正方形的邊EF于G，則OG⊥EF，

∴FG=PC=，

在Rt△OGF中，OF2=OG2+FG2，

∴OF2﹣OG2=FG2=3

∴正方形CDEF繞點O旋轉一周，邊EF掃過的面積=S陰影部分的圓環=π?OF2﹣π?OG2=π（OF2﹣OG2）=πFG2=3π．

26．如圖，拋物線y=ax2+bx+c過A（0，4），B（4，0），C（2，4）三點，與x軸另一交點記作D，直線y=kx+n過C、D兩點．

（1）求拋物線與直線CD的解析式；

（2）在拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸上是否存在一點P，使得PA+PD最小，若存在，請寫出點P的坐標，并求出PA+PD的最小值；若不存在，請說明理由；

（3）若點E為拋物線y=ax2+bx+c的頂點，連接EC、ED，則在直線y=kx+n的上方的拋物線上是否存在一點M，使得S△MCD=S△DEC，若存在，直接寫出M的坐標；若不存在，請說明理由．

【考點】HF：二次函數綜合題．

【分析】（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，將A（0，4），B（4，0），C（2，4）代入拋物線的解析式可得到關于a、b、c的方程組，從而可求得a、b、c的值；

（2）連接AB交拋物線的對稱軸與點P，連接DP．先求得拋物線的對稱軸方程為直線x=1，然后再求得AB的解析式，從而可求得點P的坐標，依據軸對稱的性質可知當A、P、B在一條直線上時，AP+DP的最小值等于AB的長；

（3）過點E作ME∥DC，交拋物線與點M．先求得DC的解析式，然后再求得ME的解析式，最后求得直線ME與拋物線的交點坐標即可．

【解答】（保定中考數學）解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．

將A（0，4），B（4，0），C（2，4）代入得：，

解得：a=﹣，b=1，c=4．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4．

（2）如圖1所示：連接AB交拋物線的對稱軸與點P，連接DP．

∵y=﹣x2+x+4，

∴拋物線的對稱軸為x=1，

∵點B和點D關于直線x=1對稱，

∴DP=BP．

∴AP+DP=AP+PB．

∴當A、P、B在一條直線上時，有最小值，AP+DP的最小值等于AB的長．

設直線AB的解析式為y=kx+4，將點B的坐標代入得：4k+4=0，解得k=﹣1，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+4．

當x=1時，y=3，

∴P（1，3）．

AP+DP的最小值=AB=4．

（3）如圖2所示：過點E作ME∥DC，交拋物線與點M．

∵EM∥DC，

∴點M到DC的距離=點E到DC的距離．

∵等底等高的兩個三角形面積相等，

∴S△MCD=S△DEC．

把y=0代入y=﹣x2+x+4得：﹣ x2+x+4=0，解得x=﹣2或x=4，

∴點D的坐標為（﹣2，0）．

將x=1代入入y=﹣x2+x+4得：y=，

∴E（1，）．

設直線DC的解析式為y=mx+n，將點D和點C的坐標代入得：，解得m=1，n=2．

∴直線DC的解析式為y=x+2．

設直線ME的坐標為y=x+d，將點E的坐標代入得：1+d=，解得：d=．

∴直線ME的解析式為y=x+．

將y=x+與y=﹣x2+x+4聯立解得：或．

∴點M的坐標為（﹣1，）．

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