2018年防城港中考數學模擬試題word版（含解析）

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2018年防城港市中考數學模擬試題

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）

1．如圖，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，則∠C等于（　　）

A．100°????????????? B．80°????????????? C．60°????????????? D．40°

2．在下列幾何體中，三視圖都是圓的為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

3．根據習近平總書記在“一帶一路”國際合作高峰論壇開幕式上的演講，中國將在未來3年向參與“一帶一路”建設的發展中國家和國際組織提供60000000000元人民幣援助，建設更多民生項目，其中數據60 000 000 000用科學記數法表示為（　　）

A．0.6×1010????????????? B．0.6×1011????????????? C．6×1010????????????? D．6×1011

4．下列運算正確的是（　　）

A．﹣3（x﹣4）=﹣3x+12????????????? B．（﹣3x）2?4x2=﹣12x4

C．3x+2x2=5x3????????????? D．x6÷x2=x3

5．一元一次不等式組的解集在數軸上表示為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

6．今年世界環境日，某校組織的保護環境為主題的演講比賽，參加決賽的6名選手成績（單位：分）如下：8.5，8.8，9.4，9.0，8.8，9.5，這6名選手成績的眾數和中位數分別是（　　）

A．8.8分，8.8分????????????? B．9.5分，8.9分????????????? C．8.8分，8.9分????????????? D．9.5分，9.0分

7．如圖，△ABC中，AB＞AC，∠CAD為△ABC的外角，觀察圖中尺規作圖的痕跡，則下列結論錯誤的是（　　）

A．∠DAE=∠B????????????? B．∠EAC=∠C????????????? C．AE∥BC????????????? D．∠DAE=∠EAC

8．一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4，隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球，則兩次摸出的小球標號之和等于5的概率為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC=2，∠BAC=30°，則劣弧的長等于（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

10．一艘輪船在靜水中的最大航速為35km/h，它以最大航速沿江順流航行120km所用時間，與以最大航速逆流航行90km所用時間相等．設江水的流速為vkm/h，則可列方程為（　　）

A． =????????????? B． =

C． =????????????? D． =

11．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔60n mile的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處，這時，B處與燈塔P的距離為（　　）

A．60 n mile????????????? B．60 n mile????????????? C．30 n mile????????????? D．30 n mile

12．如圖，垂直于x軸的直線AB分別與拋物線C1：y=x2（x≥0）和拋物線C2：y=（x≥0）交于A，B兩點，過點A作CD∥x軸分別與y軸和拋物線C2交于點C，D，過點B作EF∥x軸分別與y軸和拋物線C1交于點E，F，則的值為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13．計算：|﹣6|=　?? 　．

14．紅樹林中學共有學生1600人，為了解學生最喜歡的課外體育運動項目的情況，學校隨機抽查了200名學生，其中有85名學生表示最喜歡的項目是跳繩，則可估計該校學生中最喜歡的課外體育運動項目為跳繩的學生有　?? 　人．

15．已知是方程組的解，則3a﹣b=　?? 　．

16．如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，AC=2，BD=2，將菱形按如圖方式折疊，使點B與點O重合，折痕為EF，則五邊形AEFCD的周長為　?? 　．

17．對于函數y=，當函數值y＜﹣1時，自變量x的取值范圍是　?? 　．

18．如圖，把正方形鐵片OABC置于平面直角坐標系中，頂點A的坐標為（3，0），點P（1，2）在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點按順時針方向依次旋轉90°，第一次旋轉至圖①位置，第二次旋轉至圖②位置…，則正方形鐵片連續旋轉2017次后，點P的坐標為　?? 　．

三、解答題（本大題共8小題，共66分）

19．計算：﹣（﹣2）+﹣2sin45°+（﹣1）3．

20．先化簡，再求值：1﹣÷，其中x=﹣1．

21．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．

（1）把△ABC向上平移3個單位后得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1并寫出點B1的坐標；

（2）已知點A與點A2（2，1）關于直線l成軸對稱，請畫出直線l及△ABC關于直線l對稱的△A2B2C2，并直接寫出直線l的函數解析式．

22．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F在BD上，BE=DF．

（1）求證：AE=CF；

（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面積．

23．為調查廣西北部灣四市市民上班時最常用的交通工具的情況，隨機抽取了四市部分市民進行調查，要求被調查者從“A：自行車，B：電動車，C：公交車，D：家庭汽車，E：其他”五個選項中選擇最常用的一項，將所有調查結果整理后繪制成如下不完整的條形統計圖和扇形統計圖，請結合統計圖回答下列問題：

（1）在這次調查中，一共調查了　?? 　名市民，扇形統計圖中，C組對應的扇形圓心角是　?? 　°；

（2）請補全條形統計圖；

（3）若甲、乙兩人上班時從A、B、C、D四種交通工具中隨機選擇一種，則甲、乙兩人恰好選擇同一種交通工具上班的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表法求解．

24．為響應國家全民閱讀的號召，某社區鼓勵居民到社區閱覽室借閱讀書，并統計每年的借閱人數和圖書借閱總量（單位：本），該閱覽室在2014年圖書借閱總量是7500本，2016年圖書借閱總量是10800本．

（1）求該社區的圖書借閱總量從2014年至2016年的年平均增長率；

（2）已知2016年該社區居民借閱圖書人數有1350人，預計2017年達到1440人，如果2016年至2017年圖書借閱總量的增長率不低于2014年至2016年的年平均增長率，那么2017年的人均借閱量比2016年增長a%，求a的值至少是多少？

25．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連結AC，過上一點E作EG∥AC交CD的延長線于點G，連結AE交CD于點F，且EG=FG，連結CE．

（1）求證：△ECF∽△GCE；

（2）求證：EG是⊙O的切線；

（3）延長AB交GE的延長線于點M，若tanG=，AH=3，求EM的值．

26．如圖，已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣9a與坐標軸交于A，B，C三點，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點M，N．

（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；

（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；

（3）證明：當直線l繞點D旋轉時， +均為定值，并求出該定值．

2018年防城港中考數學模擬試題參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）

1．如圖，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，則∠C等于（　　）

A．100°????????????? B．80°????????????? C．60°????????????? D．40°

【考點】K7：三角形內角和定理．

【分析】根據三角形內角和定理計算即可．

【解答】解：由三角形內角和定理得，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，

故選：B．

2．在下列幾何體中，三視圖都是圓的為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】U1：簡單幾何體的三視圖．

【分析】根據常見幾何體的三視圖，可得答案．

【解答】解：A圓錐的主視圖是三角形，左視圖是三角形，俯視圖是圓，故A不符合題意；

B、圓柱的主視圖是矩形，左視圖是矩形，俯視圖是圓，故B不符合題意；

C、圓錐的主視圖是梯形，左視圖是梯形，俯視圖是同心圓，故C不符合題意；

D、球的三視圖都是圓，故D符合題意；

故選：D．

3．根據習近平總書記在“一帶一路”國際合作高峰論壇開幕式上的演講，中國將在未來3年向參與“一帶一路”建設的發展中國家和國際組織提供60000000000元人民幣援助，建設更多民生項目，其中數據60 000 000 000用科學記數法表示為（　　）

A．0.6×1010????????????? B．0.6×1011????????????? C．6×1010????????????? D．6×1011

【考點】1I：科學記數法—表示較大的數．

【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．

【解答】解：將60000000000用科學記數法表示為：6×1010．

故選：C．

4．下列運算正確的是（　　）

A．﹣3（x﹣4）=﹣3x+12????????????? B．（﹣3x）2?4x2=﹣12x4

C．3x+2x2=5x3????????????? D．x6÷x2=x3

【考點】4I：整式的混合運算．

【分析】根據各個選項中的式子可以計算出正確的結果，從而可以解答本題．

【解答】解：∵﹣3（x﹣4）=﹣3x+12，故選項A正確，

∵（﹣3x）2?4x2=9x2?4x2=36x4，故選項B錯誤，

∵3x+2x2不能合并，故選項C錯誤，

∵x6÷x2=x4，故選項D錯誤，

故選A．

5．一元一次不等式組的解集在數軸上表示為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】CB：解一元一次不等式組；C4：在數軸上表示不等式的解集．

【分析】根據不等式解集的表示方法即可判斷．

【解答】解：

解不等式①得：x＞﹣1，

解不等式②得：x≤2，

∴不等式組的解集是﹣1＜x≤2，

表示在數軸上，如圖所示：

．

故選A．

6．今年世界環境日，某校組織的保護環境為主題的演講比賽，參加決賽的6名選手成績（單位：分）如下：8.5，8.8，9.4，9.0，8.8，9.5，這6名選手成績的眾數和中位數分別是（　　）

A．8.8分，8.8分????????????? B．9.5分，8.9分????????????? C．8.8分，8.9分????????????? D．9.5分，9.0分

【考點】W5：眾數；W4：中位數．

【分析】分別根據眾數的定義及中位數的定義求解即可．

【解答】解：由題中的數據可知，8.8出現的次數最多，所以眾數為8.8；

從小到大排列：8.5，8.8，8.8，9.0，9.4，9.5，

故可得中位數是=8.9．

故選C．

7．如圖，△ABC中，AB＞AC，∠CAD為△ABC的外角，觀察圖中尺規作圖的痕跡，則下列結論錯誤的是（　　）

A．∠DAE=∠B????????????? B．∠EAC=∠C????????????? C．AE∥BC????????????? D．∠DAE=∠EAC

【考點】N3：作圖—復雜作圖；JB：平行線的判定與性質；K8：三角形的外角性質．

【分析】根據圖中尺規作圖的痕跡，可得∠DAE=∠B，進而判定AE∥BC，再根據平行線的性質即可得出結論．

【解答】解：根據圖中尺規作圖的痕跡，可得∠DAE=∠B，故A選項正確，

∴AE∥BC，故C選項正確，

∴∠EAC=∠C，故B選項正確，

∵AB＞AC，

∴∠C＞∠B，

∴∠CAE＞∠DAE，故D選項錯誤，

故選：D．

8．一個不透明的口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4，隨機摸出一個小球后不放回，再隨機摸出一個小球，則兩次摸出的小球標號之和等于5的概率為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】X6：列表法與樹狀圖法．

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸出的小球標號之和等于5的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：畫樹狀圖得：

∵共有12種等可能的結果，兩次摸出的小球標號之和等于5的有4種情況，

∴兩次摸出的小球標號之和等于5的概率是： =．

故選：C．

9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC=2，∠BAC=30°，則劣弧的長等于（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】MN：弧長的計算；M5：圓周角定理．

【分析】連接OB、OC，利用圓周角定理求得∠BOC=60°，屬于利用弧長公式l=來計算劣弧的長．

【解答】解：如圖，連接OB、OC，

∵∠BAC=30°，

∴∠BOC=2∠BAC=60°，

又OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴BC=OB=OC=2，

∴劣弧的長為： =．

故選：A．

10．一艘輪船在靜水中的最大航速為35km/h，它以最大航速沿江順流航行120km所用時間，與以最大航速逆流航行90km所用時間相等．設江水的流速為vkm/h，則可列方程為（　　）

A． =????????????? B． =

C． =????????????? D． =

【考點】B6：由實際問題抽象出分式方程．

【分析】根據題意可得順水速度為（35+v）km/h，逆水速度為（35﹣v）km/h，根據題意可得等量關系：以最大航速沿江順流航行120km所用時間，與以最大航速逆流航行90km所用時間相等，根據等量關系列出方程即可．

【解答】解：設江水的流速為vkm/h，根據題意得： =，

故選：D．

11．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔60n mile的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處，這時，B處與燈塔P的距離為（　　）

A．60 n mile????????????? B．60 n mile????????????? C．30 n mile????????????? D．30 n mile

【考點】TB：解直角三角形的應用﹣方向角問題；KU：勾股定理的應用．

【分析】如圖作PE⊥AB于E．在RT△PAE中，求出PE，在Rt△PBE中，根據PB=2PE即可解決問題．

【解答】解：如圖作PE⊥AB于E．

在Rt△PAE中，∵∠PAE=45°，PA=60n mile，

∴PE=AE=×60=30n mile，

在Rt△PBE中，∵∠B=30°，

∴PB=2PE=60n mile，

故選B

12．如圖，垂直于x軸的直線AB分別與拋物線C1：y=x2（x≥0）和拋物線C2：y=（x≥0）交于A，B兩點，過點A作CD∥x軸分別與y軸和拋物線C2交于點C，D，過點B作EF∥x軸分別與y軸和拋物線C1交于點E，F，則的值為（　　）

A．????????????? B．????????????? C．????????????? D．

【考點】H5：二次函數圖象上點的坐標特征．

【分析】可以設A、B橫坐標為a，易求得點E、F、D的坐標，即可求得OE、CE、AD、BF的長度，即可解題．

【解答】解：設點A、B橫坐標為a，則點A縱坐標為a2，點B的縱坐標為，

∵BE∥x軸，

∴點F縱坐標為，

∵點F是拋物線y=x2上的點，

∴點F橫坐標為x==，

∵CD∥x軸，∴點D縱坐標為a2，

∵點D是拋物線y=上的點，

∴點D橫坐標為x==2a，

∴AD=a，BF=a，CE=a2，OE=a2，

∴則==×=，

故選 D．

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13．計算：|﹣6|=　6　．

【考點】15：絕對值．

【分析】根據絕對值的化簡，由﹣6＜0，可得|﹣6|=﹣（﹣6）=6，即得答案．

【解答】解：﹣6＜0，

則|﹣6|=﹣（﹣6）=6，

故答案為6．

14．紅樹林中學共有學生1600人，為了解學生最喜歡的課外體育運動項目的情況，學校隨機抽查了200名學生，其中有85名學生表示最喜歡的項目是跳繩，則可估計該校學生中最喜歡的課外體育運動項目為跳繩的學生有　680　人．

【考點】V5：用樣本估計總體．

【分析】用樣本中最喜歡的項目是跳繩的人數所占比例乘以全校總人數即可得．

【解答】解：由于樣本中最喜歡的項目是跳繩的人數所占比例為，

∴估計該校學生中最喜歡的課外體育運動項目為跳繩的學生有1600×=680，

故答案為：680．

15．已知是方程組的解，則3a﹣b=　5　．

【考點】97：二元一次方程組的解．

【分析】首先把方程組的解代入方程組，即可得到一個關于a，b的方程組，①+②即可求得代數式的值．

【解答】解：∵是方程組的解，

∴，

①+②得，3a﹣b=5，

故答案為：5．

16．如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，AC=2，BD=2，將菱形按如圖方式折疊，使點B與點O重合，折痕為EF，則五邊形AEFCD的周長為　7　．

【考點】PB：翻折變換（折疊問題）；L8：菱形的性質．

【分析】根據菱形的性質得到∠ABO=∠CBO，AC⊥BD，得到∠ABC=60°，由折疊的性質得到EF⊥BO，OE=BE，∠BEF=∠OEF，推出△BEF是等邊三角形，得到∠BEF=60°，得到△AEO是等邊三角形，推出EF是△ABC的中位線，求得EF=AC=1，AE=OE=1，同理CF=OF=1，于是得到結論．

【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，

∴∠ABO=∠CBO，AC⊥BD，

∵AO=1，BO=，

∴tan∠ABO==，

∴∠ABO=30°，AB=2，

∴∠ABC=60°，

由折疊的性質得，EF⊥BO，OE=BE，∠BEF=∠OEF，

∴BE=BF，EF∥AC，

∴△BEF是等邊三角形，

∴∠BEF=60°，

∴∠OEF=60°，

∴∠AEO=60°，

∴△AEO是等邊三角形，

∴AE=OE，

∴BE=AE，

∴EF是△ABC的中位線，

∴EF=AC=1，AE=OE=1，

同理CF=OF=1，

∴五邊形AEFCD的周長為=1+1+1+2+2=7．

故答案為：7．

17．對于函數y=，當函數值y＜﹣1時，自變量x的取值范圍是　﹣2＜x＜0　．

【考點】G4：反比例函數的性質．

【分析】先求出y=﹣1時x的值，再由反比例函數的性質即可得出結論．

【解答】解：∵當y=﹣1時，x=﹣2，

∴當函數值y＜﹣1時，﹣2＜x＜0．

故答案為：﹣2＜x＜0．

18．如圖，把正方形鐵片OABC置于平面直角坐標系中，頂點A的坐標為（3，0），點P（1，2）在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點按順時針方向依次旋轉90°，第一次旋轉至圖①位置，第二次旋轉至圖②位置…，則正方形鐵片連續旋轉2017次后，點P的坐標為　　．

【考點】R7：坐標與圖形變化﹣旋轉；D2：規律型：點的坐標．

【分析】首先求出P1～P5的坐標，探究規律后，利用規律解決問題．

【解答】解：第一次P1（5，2），

第二次P2（5，1），

第三次P3（7，1），

第四次P4（10，2），

第五次P5（14，2），

…

發現點P的位置4次一個循環，

∵2017÷4=504余1，

P2017的縱坐標與P1相同為1，橫坐標為5+3×504=1517，

∴P2017，

故答案為．

三、解答題（本大題共8小題，共66分）

19．計算：﹣（﹣2）+﹣2sin45°+（﹣1）3．

【考點】2C：實數的運算；T5：特殊角的三角函數值．

【分析】首先利用二次根式的性質以及特殊角的三角函數值分別化簡得出答案．

【解答】解：原式=2+2﹣2×﹣1

=1+．

20．先化簡，再求值：1﹣÷，其中x=﹣1．

【考點】6D：分式的化簡求值．

【分析】根據分式的除法和減法可以化簡題目中的式子，然后將x的值代入化簡后的式子即可解答本題．

【解答】解：1﹣÷

=1﹣

=1﹣

=

=，

當x=﹣1時，原式=．

21．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點分別為A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．

（1）把△ABC向上平移3個單位后得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1并寫出點B1的坐標；

（2）已知點A與點A2（2，1）關于直線l成軸對稱，請畫出直線l及△ABC關于直線l對稱的△A2B2C2，并直接寫出直線l的函數解析式．

【考點】P7：作圖﹣軸對稱變換；FA：待定系數法求一次函數解析式；Q4：作圖﹣平移變換．

【分析】（1）根據圖形平移的性質畫出△A1B1C1并寫出點B1的坐標即可；

（2）連接AA2，作線段AA2的垂線l，再作△ABC關于直線l對稱的△A2B2C2即可．

【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，B1（﹣2，﹣1）；

（2）如圖，△A2B2C2即為所求，直線l的函數解析式為y=﹣x．

22．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F在BD上，BE=DF．

（1）求證：AE=CF；

（2）若AB=6，∠COD=60°，求矩形ABCD的面積．

【考點】LB：矩形的性質；KD：全等三角形的判定與性質．

【分析】（1）由矩形的性質得出OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，證出OE=OF，由SAS證明△AOE≌△COF，即可得出AE=CF；

（2）證出△AOB是等邊三角形，得出OA=AB=6，AC=2OA=12，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC==6，即可得出矩形ABCD的面積．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，

∵BE=DF，

∴OE=OF，

在△AOE和△COF中，，

∴△AOE≌△COF（SAS），

∴AE=CF；

（2）解：∵OA=OC，OB=OD，AC=BD，

∴OA=OB，

∵∠AOB=∠COD=60°，

∴△AOB是等邊三角形，

∴OA=AB=6，

∴AC=2OA=12，

在Rt△ABC中，BC==6，

∴矩形ABCD的面積=AB?BC=6×6=36．

23．為調查廣西北部灣四市市民上班時最常用的交通工具的情況，隨機抽取了四市部分市民進行調查，要求被調查者從“A：自行車，B：電動車，C：公交車，D：家庭汽車，E：其他”五個選項中選擇最常用的一項，將所有調查結果整理后繪制成如下不完整的條形統計圖和扇形統計圖，請結合統計圖回答下列問題：

（1）在這次調查中，一共調查了　2000　名市民，扇形統計圖中，C組對應的扇形圓心角是　108　°；

（2）請補全條形統計圖；

（3）若甲、乙兩人上班時從A、B、C、D四種交通工具中隨機選擇一種，則甲、乙兩人恰好選擇同一種交通工具上班的概率是多少？請用畫樹狀圖或列表法求解．

【考點】X6：列表法與樹狀圖法；VB：扇形統計圖；VC：條形統計圖．

【分析】（1）根據B組的人數以及百分比，即可得到被調查的人數，進而得出C組的人數，再根據扇形圓心角的度數=部分占總體的百分比×360°進行計算即可；

（2）根據C組的人數，補全條形統計圖；

（3）根據甲、乙兩人上班時從A、B、C、D四種交通工具中隨機選擇一種畫樹狀圖或列表，即可運用概率公式得到甲、乙兩人恰好選擇同一種交通工具上班的概率．

【解答】解：（1）被調查的人數為：800÷40%=2000（人），

C組的人數為：2000﹣100﹣800﹣200﹣300=600（人），

∴C組對應的扇形圓心角度數為：×360°=108°，

故答案為：2000，108；

（2）條形統計圖如下：

（3）畫樹狀圖得：

∵共有16種等可能的結果，甲、乙兩人選擇同一種交通工具的有4種情況，

∴甲、乙兩人選擇同一種交通工具上班的概率為： =．

24．為響應國家全民閱讀的號召，某社區鼓勵居民到社區閱覽室借閱讀書，并統計每年的借閱人數和圖書借閱總量（單位：本），該閱覽室在2014年圖書借閱總量是7500本，2016年圖書借閱總量是10800本．

（1）求該社區的圖書借閱總量從2014年至2016年的年平均增長率；

（2）已知2016年該社區居民借閱圖書人數有1350人，預計2017年達到1440人，如果2016年至2017年圖書借閱總量的增長率不低于2014年至2016年的年平均增長率，那么2017年的人均借閱量比2016年增長a%，求a的值至少是多少？

【考點】AD：一元二次方程的應用；C9：一元一次不等式的應用．

【分析】（1）經過兩次增長，求年平均增長率的問題，應該明確原來的基數，增長后的結果．設這兩年的年平均增長率為x，則經過兩次增長以后圖書館有書7500（1+x）2本，即可列方程求解；

（2）先求出2017年圖書借閱總量的最小值，再求出2016年的人均借閱量，2017年的人均借閱量，進一步求得a的值至少是多少．

【解答】解：（1）設該社區的圖書借閱總量從2014年至2016年的年平均增長率為x，根據題意得

7500（1+x）2=10800，

即（1+x）2=1.44，

解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）

答：該社區的圖書借閱總量從2014年至2016年的年平均增長率為20%；

（2）10800（1+0.2）=12960（本）

10800÷1350=8（本）

12960÷1440=9（本）

（9﹣8）÷8×100%=12.5%．

故a的值至少是12.5．

25．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連結AC，過上一點E作EG∥AC交CD的延長線于點G，連結AE交CD于點F，且EG=FG，連結CE．

（1）求證：△ECF∽△GCE；

（2）求證：EG是⊙O的切線；

（3）延長AB交GE的延長線于點M，若tanG=，AH=3，求EM的值．

【考點】MR：圓的綜合題．

【分析】（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可證明；

（2）欲證明EG是⊙O的切線只要證明EG⊥OE即可；

（3）連接OC．設⊙O的半徑為r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，證明△AHC∽△MEO，可得=，由此即可解決問題；

【解答】（1）證明：如圖1中，

∵AC∥EG，

∴∠G=∠ACG，

∵AB⊥CD，

∴=，

∴∠CEF=∠ACD，

∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，

∴△ECF∽△GCE．

（2）證明：如圖2中，連接OE，

∵GF=GE，

∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∵∠AFH+∠FAH=90°，

∴∠GEF+∠AEO=90°，

∴∠GEO=90°，

∴GE⊥OE，

∴EG是⊙O的切線．

（3）解：如圖3中，連接OC．設⊙O的半徑為r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G==，

∵AH=3，

∴HC=4，

在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣3，HC=4，

∴（r﹣3）2+（4）2=r2，

∴r=，

∵GM∥AC，

∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，

∴△AHC∽△MEO，

∴=，

∴=，

∴EM=．

26．如圖，已知拋物線y=ax2﹣2ax﹣9a與坐標軸交于A，B，C三點，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點M，N．

（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；

（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；

（3）證明：當直線l繞點D旋轉時， +均為定值，并求出該定值．

【考點】HF：二次函數綜合題．

【分析】（1）由點C的坐標為（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關于x的方程，解關于x的方程可得到點A和點B的坐標，最后利用拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸；

（2）利用特殊銳角三角函數值可求得∠CAO=60°，依據AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO=30°，然后利用特殊銳角三角函數值可求得OD=1，則可得到點D的坐標．設點P的坐標為（，a）．依據兩點的距離公式可求得AD、AP、DP的長，然后分為AD=PA、AD=DP、AP=DP三種情況列方程求解即可；

（3）設直線MN的解析式為y=kx+1，接下來求得點M和點N的橫坐標，于是可得到AN的長，然后利用特殊銳角三角函數值可求得AM的長，最后將AM和AN的長代入化簡即可．

【解答】解：（1）∵C（0，3）．

∴﹣9a=3，解得：a=﹣．

令y=0得：ax2﹣2 x﹣9a=0，

∵a≠0，

∴x2﹣2 x﹣9=0，解得：x=﹣或x=3．

∴點A的坐標為（﹣，0），B（3，0）．

∴拋物線的對稱軸為x=．

（2）∵OA=，OC=3，

∴tan∠CAO=，

∴∠CAO=60°．

∵AE為∠BAC的平分線，

∴∠DAO=30°．

∴DO=AO=1．

∴點D的坐標為（0，1）

設點P的坐標為（，a）．

依據兩點間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．

當AD=PA時，4=12+a2，方程無解．

當AD=DP時，4=3+（a﹣1）2，解得a=2或a=0，

∴點P的坐標為（，2）或（，0）．

當AP=DP時，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4．

∴點P的坐標為（，﹣4）．

綜上所述，點P的坐標為（，2）或（，0）或（，﹣4）．

（3）設直線AC的解析式為y=mx+3，將點A的坐標代入得：﹣ m+3=0，解得：m=，

∴直線AC的解析式為y=x+3．

設直線MN的解析式為y=kx+1．

把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=﹣，

∴點N的坐標為（﹣，0）．

∴AN=﹣+=．

將y=x+3與y=kx+1聯立解得：x=．

∴點M的橫坐標為．

過點M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG=+．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，

∴AM=2AG=+2=．

∴+=+=+===．