首先我們可以用這個公式也就是Cnk 等于這個[ n (n減去1)(n-2)等等(n-k+1) )的一種階乘,然后我們需要例如這樣公式,C52等于這個(5乘以4)(2乘以1)等于10。
定理(1)二項式系數和等于2^n
∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n
令x=1得
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n
定理2:奇數項二項式系數和等于偶數項二項式系數和
∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n
令x=1得
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n ①
令x=-1得
Cn0-Cn1x+Cn2x^2-Cn3x^3+…+Cnn(-x)^n=0 ②
由②得
Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…
所以奇數項二項式系數和等于偶數項二項式系數和
再代入①得
Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2^(n-1)
一般二項式(x + y)?的冪可用二項式系數記為 。廣義二項式定理把這結果推廣至負數或非整數次冪,此時右式則不再是多項式,而是無窮級數。
二項式系數對組合數學很重要,因它的意義是從n件物件中,不分先后地選取k(k為正整數)件的方法總數,因此也叫做組合數。從定義出發,把n個(1+x)項的乘積展開,其中任意k項的x和n?k項的1相乘得出一個x,故此x的系數是從n個選取k個的方法總數。
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