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        1/(1+x^4)的不定積分

        2024-01-19 16:00:08文/陳宇航

        1+x^4=(x^2-√2x+1)(x^2+√2x+1),按有理函數(shù)的部分分解的方法,1/(1+x^4)=1/(2√2)×[(x+√2)/(x^2+√2x+1)-(x-√2)/(x^2-√2x+1)],接下來把分子拆成兩部分:一部分是分母的導(dǎo)數(shù)的一個(gè)倍數(shù),一部分是常數(shù),這是有理函數(shù)的不定積分的定式.

        1/(1+x^4)的不定積分

        1/(1+x^4)的不定積分怎么算?

        ∫ dx/[x(1+x?)]。

        令u=x?,du=4x3 dx

        原式= ∫ 1/[x*(1+u)] * du/(4x3)

        = (1/4)∫ 1/[u(u+1)] du

        = (1/4)∫ (u+1-u)/[u(u+1)] du

        = (1/4)∫ [1/u - 1/(u+1)] du

        = (1/4)(ln|u| - ln|u+1|) + C

        = (1/4)ln|x^4| - (1/4)ln|x^4+1| + C

        = ln|x| - (1/4)ln(x^4+1) + C

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