我們常說數學十字交叉法實際上是十字交叉相比法,它是一種圖示方法。十字交叉圖示法實際上是代替求和公式的一種簡捷算法,它特別適合于兩總量、兩關系的混合物的計算(即2—2型混合物計算),用來計算混合物中兩種組成成分的比值。
溶液混合問題。當混合前一種溶液的質量和濃度分別為A、a,另一種溶液的質量和濃度分別為B、b,混合后的溶液濃度為r時,可以使用數學十字交叉法簡化計算過程。其基本公式為Aa+Bb=(A+B)×r。
分數比較問題。在比較分數大小時,數學十字交叉法可以簡化比較過程。其基本原理是將分數轉換為同分母或同分子形式,然后通過交叉相乘得到結果。
比例和歸一問題。在解比例或歸一問題時,數學十字交叉法可以幫助找到比例中的內外項或確定單一量(標準量)。
相對原子質量問題。對于含有兩種天然同位素的元素,數學十字交叉法可以用來計算這兩種同位素的原子個數比,進而計算出元素的相對原子質量。
混合物的質量分數問題。在混合物中,如果某元素或物質的原子或質量守恒,且具有加和性,數學十字交叉法可以用來計算混合物中該元素或物質的質量分數。
數學十字交叉法于二元組分混合體系的計算方法,常用于計算二元組分的比例關系,其原理如下:若 a、b(a > b)分別表示某二元組分中兩種組分的量,c 表示 a、b 兩組分的相對平均值,x、y 分別表示 a、b 在混合體系中所占的比例,則有二元一次方程組:x+y=1 ①ax+by=c ②把式② / 式①并移項整理得:x/y=(c-b)/(a-c),由此可得到如下圖式:數學十字交叉法也稱圖解法,作為一種簡化的解題方法,應用于二元混合體系具有平均值的計算問題,它具有簡化思路、簡便運算、計算速度快等優點
雞兔同籠問題實質也是加權平均問題,可用數學十字交叉法來解
例:每只蜻蜓有6條腿,每只雞有2條腿,已知蜻蜓和雞一共有200只,且一共有600條腿,那么有多少只蜻蜓,多少只雞?
A.40,160B.50,150C.60,140D.80,120
解析:平均每只動物有600÷200=3條腿,則有:
蜻蜓 6 1
3
雞 2 3
平均增長率問題,利用數學十字交叉法時易出錯
例:某高校2006年度畢業學生7650名,比上年度增長2%。其中本科畢業生比上年度減少2%,而研究生畢業生數量比上年度增加10%,那么,這所高校今年畢業的本科生有:
A.3920人B.4410人 C..4900人 D.5490人
(2007年國家公務員考試真題)
解析:利用數學十字交叉法,有:
本科畢業生 -2% 8%
2%
研究生畢業生 10% 4%
所以2005年本科畢業生與研究生畢業生人數之比為8%∶4%=2∶1,故今年畢業的本科生有7650÷(1+2%)×(2/3)×(1-2%)=4900人,故選C。
【注釋】此處,利用數學十字交叉法求出的人數比例是2005年的,不是2006年的。
熟練掌握數學十字交叉法后,遇到加權平均問題,可以利用它迅速理清思路,從而求出結果或列出方程,有效提高解題速度。當然,考生可以根據自身習慣,選擇適合自己的方法。另外,對于已知A、B、a、b,求r的題目,可以直接列式求:r=(Aa+Bb)/(A+B)。
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