函數極值的求法:(1)用一階導數求之(第一充分條件);(2)用二階導數求之(第二充分條件);(3)根據定義求之;(4)利用泰勒公式結合前述各法判別之,并求出極值;(5)利用基本結論。
求法一、用一階導數求之(第一充分條件)
設函數f(x)在點x0處的一個鄰域內可導,且f'(x0)=0,或f'(x0)不存在,但f(x)在x=x0處連續。若f(x)在點x0的兩側鄰近導數異號,則f(x0)是函數f(x)的極值。當導數符號由正變負時,f(x0)是極大值;由負變正時,f(x0)是極小值.若f(x)在點x0的兩側鄰近導數不變號,則f(x0)不是極值。
注意:f(x)不存在的點,也可能是極值點如上例,可用該點左右兩側一階導數是否變號判別之。
因判斷一點處的f"(x)的符號比判斷一個區間上的f''(x)的符號要方便一些,所以對可導函數常用二階導數求其極值(見求法二)。
求法二、用二階導數求之(第二充分條件)
設函數f(x)在點x0處二階可導,且f'(x0)=0,但f"(x )≠0,則當f"(x0)>0時,f(x)在x0處取極小值f(x0);當f"(x0)<0時,f(x)在x0處取極大值f(x0)。
設函數f(x)在點x0處二階可導,且f'(x0)=0,但f"(x )≠0,則當f"(x0)>0時,f(x)在x0處取極小值f(x0);當f"(x0)<0時,f(x)在x0處取極大值f(x0)。
1. 函數的極值可能與導數的極限有關
在某些情況下,函數的極值可能與導數的極限有關。例如,如果一個函數在某一點處的導數為無窮大,那么該點可能是函數的極值點。
2. 利用導數的極限性質求極值
在這種情況下,我們需要使用導數的極限性質來求極值。例如,如果一個函數在某一點處的導數為無窮大,那么我們可以嘗試在該點附近求導數的極限,以確定該點是否為函數的極值點。
1、配方法: 形如的函數,根據二次函數的極值點或邊界點的取值確定函數的最值。
2、判別式法: 形如的分式函數, 將其化成系數含有y的關于x的二次方程。由于, 所以≥0, 求出y的最值, 此種方法易產生增根, 因而要對取得最值時對應的x值是否有解檢驗。
3、利用函數的單調性:首先明確函數的定義域和單調性, 再求最值。
4、利用均值不等式,形如的函數, 注意正、定等的應用條件, 即: a, b均為正數, 是定值, a=b的等號是否成立。
5、換元法:形如的函數, 令,反解出x, 代入上式, 得出關于t的函數, 注意t的定義域范圍, 再求關于t的函數的最值。 還有三角換元法, 參數換元法。
6、數形結合法:形如將式子左邊看成一個函數, 右邊看成一個函數, 在同一坐標系作出它們的圖象, 觀察其位置關系, 利用解析幾何知識求最值。 求利用直線的斜率公式求形如的最值。
函數增減性,即“增增的增,減減得增,增減得減”,可以簡化為“同增異減”。是根據y=f(u),u=8(x)的單調性決定。指數對數函數增減性判斷...
1/2次方就是算術平方根,2的二分之一次方=2^1/2=√2;a的n/m次方就等于a先乘以n次方再開m次方。次方最基本的定義是:設a為某數,...
一個函數由它的定義域、值域、和函數的表達式或算法組成。函數的定義域是函數能夠接受的所有可能的輸入值的集合,而函數的值域是函數可以生成的所有可...
正弦函數(y=sinx)是奇函數。正切函數(y=tanx)是奇函數。余切函數(y=cotx)是奇函數。余割函數(y=cscx)是奇函數。反比...
首先,注重基礎。孩子在學習函數的時候,必須就要注重基礎,數學好的同學基本都會刷題,刷題最主要的就是讓他們的基礎特別的好,所以在學習的時候一定...
初中函數知識點:拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2...
1/sin等于csc(Cosecant),它是三角函數中的一種,表示余割。具體地說,cscx=1/sinx,其中x為弧度。當sinx等于0時...
一次函數:如果y=kx+b(k、b是常數,k≠0),那么y叫做x的一次函數。特別地,當b=0時,一次函數y=kx+b成為y=kx(k是常數,...