兩個無窮大量之和不一定是無窮大;有界量與無窮大量的乘積不一定是無窮大(如常數0就算是有界函數);有限個無窮大量之積一定是無窮大。另外,一個數列不是無窮大量,不代表它就是有界的(如:數列1,1/2,3,1/3,……)。
在集合論中對無窮有不同的定義。德國數學家康托爾提出,對應于不同無窮集合的元素的個數(基數),有不同的“無窮”。
這里比較不同的無窮的“大小”的時候唯一的辦法就是通過是否可以建立“一一對應關系”來判斷,而拋棄了歐幾里得“整體大于部分”的看法。例如整數集和自然數集由于可以建立一一對應的關系,它們就具有相同的無窮基數。
自然數集是具有最小基數的無窮集,它的基數用希伯來字母阿列夫右下角標來表示。
可以證明,任何一個集合的冪集(所有子集所形成的集合)的比原集合大,如果原來的基數是a,則冪集的基數記為(2的a次方)。這稱為康托爾定理。
對于兩個無窮集合,可以以能否建立它們之間的雙射,作為比較其大小的標準。
確切地講,我們用基數的概念來描述集合,對于有限集合而言,可以認為它的基數就是元素的個數,但對無窮集而言,基數只能以下面的方式理解(當然也可以據此把無窮集合的基數說成是它元素的個數,但這個個數已經不是日常用語中的意思)。
如果集合A與集合B之間存在雙射(一一對應),就認為它們的基數一樣大;如果A與B的某個子集有雙射,就認為A的基數不比B更大,也就是A到B有單射,B到A有滿射;當A的基數不比B更大,且A、B基數不一樣大時,就認為A比B基數小。
在ZFC集合論的框架下,任何集合都是良序的,從而兩個集的基數總是大于、小于、等于中的一種,不會出現無法比較的情況。但若不包括選擇公理,只有良序集的基數才能比較。
例如,可數集合,如自然數集,整數集乃至有理數集對應的基數被定義為“阿列夫零”。比可數集合“大”的稱之為不可數集合,如實數集,其基數與自然數的冪集相同,為二的阿列夫零次方,被定義為“阿列夫壹”。
由于一個無窮集合的冪集總是具有比它本身更高的基數,所以通過構造一系列的冪集,可以證明無窮的基數的個數是無窮的。然而有趣的是,無窮基數的個數比任何基數都多,從而它是一個比任何無窮大都要大的“無窮大”,它不能對應于一個基數,否則會產生康托爾悖論的一種形式。
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