初二對于學生來說是很重要的一個階段,而一次函數是初二數學比較重要的章節,下面小編為大家歸納了一次函數的知識點,一起來看看吧!
1、函數概念:在一個變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x的每一個值,y都有惟一的值與它對應,那么就說x是自變量,y是x的函數.
2、一次函數和正比例函數的概念
若兩個變量x,y間的關系式可以表示成y=kx+b(k,b為常數,k≠0)的形式,則稱y是x的一次函數(x為自變量),特別地,當b=0時,稱y是x的正比例函數.
說明:(1)一次函數的自變量的取值范圍是一切實數,但在實際問題中要根據函數的實際意義來確定.
(2)一次函數y=kx+b(k,b為常數,b≠0)中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意義相同,即自變量x的次數為1,一次項系數k必須是不為零的常數,b可為任意常數.
(3)當b=0,k≠0時,y=b仍是一次函數.
(4)當b=0,k=0時,它不是一次函數.
3、一次函數的圖象(三步畫圖象)
由于一次函數y=kx+b(k,b為常數,k≠0)的圖象是一條直線,所以一次函數y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b.
由于兩點確定一條直線,因此在今后作一次函數圖象時,只要描出適合關系式的兩點,再連成直線即可,一般選取兩個特殊點:直線與y軸的交點(0,b),直線與x軸的交點(-,0).但也不必一定選取這兩個特殊點.畫正比例函數y=kx的圖象時,只要描出點(0,0),(1,k)即可.
4、一次函數y=kx+b(k,b為常數,k≠0)的性質(正比例函數的性質略)
(1)k的正負決定直線的傾斜方向;①k>0時,y的值隨x值的增大而增大;
②k﹤O時,y的值隨x值的增大而減小.
(2)|k|大小決定直線的傾斜程度,即|k|越大,直線與x軸相交的銳角度數越大(直線陡),|k|越小,直線與x軸相交的銳角度數越小(直線緩);
(3)b的正、負決定直線與y軸交點的位置;
①當b>0時,直線與y軸交于正半軸上;
②當b<0時,直線與y軸交于負半軸上;
③當b=0時,直線經過原點,是正比例函數.
(4)由于k,b的符號不同,直線所經過的象限也不同;
5、確定正比例函數及一次函數表達式的條件
(1)由于正比例函數y=kx(k≠0)中只有一個待定系數k,故只需一個條件(如一對x,y的值或一個點)就可求得k的值.
(2)由于一次函數y=kx+b(k≠0)中有兩個待定系數k,b,需要兩個獨立的條件確定兩個關于k,b的方程,求得k,b的值,這兩個條件通常是兩個點或兩對x,y的值.
6、待定系數法
先設待求函數關系式(其中含有未知常數系數),再根據條件列出方程(或方程組),求出未知系數,從而得到所求結果的方法,叫做待定系數法.其中未知系數也叫待定系數.例如:函數y=kxb中,k,b就是待定系數.
7、用待定系數法確定一次函數表達式的一般步驟
(1)設函數表達式為y=kx+b;
(2)將已知點的坐標代入函數表達式,解方程(組);
(3)求出k與b的值,得到函數表達式.
8、本章思想方法
(1)函數方法。函數方法就是用運動、變化的觀點來分析題中的數量關系,函數的實質是研究兩個變量之間的對應關系。
(2)數形結合法。數形結合法是指將數與形結合,分析、研究、解決問題的一種思想方法。
例1、當m為何值時,函數y=-(m-2)x(m-4)是一次函數?
例2、一根彈簧長15cm,它所掛物體的質量不能超過18kg,并且每掛1kg的物體,彈簧就伸長0.5cm,寫出掛上物體后,彈簧的長度y(cm)與所掛物體的質量x(kg)之間的函數關系式,寫出自變量x的取值范圍,并判斷y是否是x的一次函數.
例3、已知ym與x-n成正比例(其中m,n是常數)
(1)y是x的一次函數嗎?請說明理由;在什么條件下,y是x的正比例函數?
(2)如果x=-1時,y=-15;x=7時,y=1,求這個一次函數的解析式。并求這條直線與坐標軸圍成的三角形的面積。
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