三角形是由同一平面內不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連接所組成的封閉圖形,在數學、建筑學有應用。常見的三角形按邊分有普通三角形(三條邊都不相等),等腰三角(腰與底不等的等腰三角形、腰與底相等的等腰三角形即等邊三角形)。
三角形是由同一平面內不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連接所組成的封閉圖形,在數學、建筑學有應用。
常見的三角形按邊分有普通三角形(三條邊都不相等),等腰三角(腰與底不等的等腰三角形、腰與底相等的等腰三角形即等邊三角形);按角分有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等,其中銳角三角形和鈍角三角形統稱斜三角形。
外角和定理:
三角形任意一個外角等于不相鄰兩個內角的和。
邊長關系:
三角形任意兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊。
即三邊a、b、c關系為:
a+b>c; a+c>b; c+b>a
a-b<c; a-c<b; c-b<a
在直角三角形中三邊關系:
勾股定理:
在直角三角形中,兩直角邊和平方和等于斜邊的平方。
即在直角三角形中:
a^2+b^2=c^2
勾股定理逆定理:
若在一個三角形中,兩條較短邊的平方和等于最長邊的平方,那么這個三角形為直角三角形。
即若 a^2+b^2=c^2
則這個三角形為直角三角形,
且c邊所對的角為90度
三角函數
對應特殊角的三角函數
在直角三角形中30度,45度,60度角特殊角,所對應的三角函數值:
sin30=1/2 cos30=√3/2
sin45=√2/ 2 cos45=√2/ 2
sin60= √3/ 2 cos60=1/2
tan30=√3/ 3 tan45=1
tan60= √3
全等三角形
定義:三邊對應相等,三個角對應相等 的兩個三角形全等。
性質:全等三角形對應邊相等,對應角 相等
判定定理:
①若兩個三角形兩邊及其夾角對應相等,則這兩個三角形全等。
簡稱:SAS
②如果兩個三角形,兩角及其夾邊對應相等則這兩個三 角形全等。
簡稱:ASA
③如果兩個三角形兩角對應相等,且其中一組等角的對邊也相等的兩個三角形全等。
簡稱: AAS
④如果兩個三角形,三條邊對應相等則這兩個三角形全等。簡稱:SSS
⑤兩個直角三角形,有一組直角邊和一組斜邊對應相等,則這兩個三角形全等。
1 、在平面上三角形的內角和等于180°(內角和定理)。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內角之和。
推論:三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
4、 一個三角形的三個內角中最少有兩個銳角。
5、 在三角形中至少有一個角大于等于60度,也至少有一個角小于等于60度。
6 、三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊。
7、 在一個直角三角形中,若一個角等于30度,則30度角所對的直角邊是斜邊的一半。
8、直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理)。
勾股定理逆定理:如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2 ,那么這個三角形是直角三角形。
9、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。
10、三角形的三條角平分線交于一點,三條高線的所在直線交于一點,三條中線交于一點。
11、三角形三條中線的長度的平方和等于它的三邊的長度平方和的3/4。
12、 等底同高的三角形面積相等。
13、 底相等的三角形的面積之比等于其高之比,高相等的三角形的面積之比等于其底之比。
14、三角形的任意一條中線將這個三角形分為兩個面積相等的三角形。
15、等腰三角形頂角的角平分線和底邊上的高、底邊上的中線在一條直線上(三線合一)。
16、 在同一個三角形內,大邊對大角,大角對大邊。
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